Sei A ∈ GL(n, K) und λ ∈ K ein Eigenwert von A.

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper.
- Sei A ∈ GL(n, K) und λ ∈ K ein Eigenwert von A. Zeigen sie, dass $\lambda\neq 0$ ̸ gilt und dass λ −1ein Eigenwert von A^-1
ist.
-Sei σ ∈ Sn. Zeigen Sie, dass 1 ein Eigenwert von Pσ ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.

Comments

dass λ = 0 ̸ gilt

Meinst du $\lambda\neq 0$ und wenn ja,
warum schreibst du das nicht verständlich?

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Oh sry, sollte so sein

Zeigen sie, dass $\lambda\neq 0$ ̸ gilt und dass λ −1
ein Eigenwert von A^-1

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Zeigen sie, dass $\lambda\neq 0$ gilt und dass λ ^-1ein Eigenwert von A-1 ist.

Answer 1

Ist $\lambda=0$ Eigenwert von $A$, also
gibt es einen Vektor $v\neq 0$ mit $Av=\lambda v=0\cdot v=0$,

dann ist $x\mapsto Ax$ kein Isomorphismus, da Kern($A) \neq \{0\}$,

d.h. $A$ hat nicht maximalen Rang, ist also nicht invertierbar,

also $A\notin GL(n)$.