Diagonalisierung komplex-hermitischer Matrizen

Question

Aufgabe:

Diagonalisierung komplex-hermitischer Matrizen

Problem/Ansatz:

Uber den komplexen Zahlen betrachten wir die Matrix

Text erkannt:

\( A:=\left(\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & -2 i \\ 0 & -1 & 2 i & 0 \\ 0 & -2 i & -1 & 0 \\ 2 i & 0 & 0 & -1\end{array}\right) \in \mathbb{C}^{4 \times 4} \)

Finden Sie eine unitäre Matrix S ∈ C ^4×4 , sodass S ^∗AS Diagonalgestalt hat. Dabei heißt
eine Matrix S ∈ C ^n×n unitar, wenn S ^∗ = S^¯T = S ⁻¹    gilt^.

^{// Ich dachte, S ist selbstadjungiert, weil S^* = (A ^∗A) = A ^∗ (A^∗ ) ^∗ = A^∗A = S.}

<sup>Also Spektralsatz ⇒ es gibt eine Orthonormalbasis {e1 , ..., en} der Eigenvektoren von S. Aber ich glaube, ich bin weit von der Lösung entfernt. Über einen Lösungsvorschlag oder Lösungsvorschlag würde ich mich sehr freuen.

Schönes Wochenende!</sup>

Answer 1

Symmetrische Matrizen haben bekannterweise(?) relle EW:

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

A:= {{-1,0,0,-2 ί },{0,-1,2 ί ,0},{0,-2 ί ,-1,0},{2 ί ,0,0,-1}}

|A - λ id| = \(\small \left(\lambda - 1 \right)^{2} \; \left(\lambda + 3 \right)^{2} = 0\)

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-3&\left(\begin{array}{rrrr}2&0&0&-2 \; i\\0&2&2 \; i&0\\0&-2 \; i&2&0\\2 \; i&0&0&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&1&\left(\begin{array}{rrrr}-2&0&0&-2 \; i\\0&-2&2 \; i&0\\0&-2 \; i&-2&0\\2 \; i&0&0&-2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}i \; x4&-i \; x4\\-i \; x3&i \; x3\\x3&x3\\x4&x4\\\end{array}\right)\)

\(\small S \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}\frac{i}{\sqrt{2}}&0&0&\frac{-i}{\sqrt{2}}\\0&\frac{-i}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\frac{1}{\sqrt{2}}&0&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{array}\right)\)