Anzahl Lösungen diophantische Gleichungen

Question

Aufgabe:

Woher weiß ich, ob eine Diophantische Gleichung

- eine Lösung in den natürlichen Zahlen

- keine Lösung in den natürlichen Zahlen

- genau eine ganzzahlige Lösung

- keine Lösung in den ganzzahligen zahlen

- mindestens … Lösungen

- unendliche viele Lösungen

- genau eine Lösung modulo …

Problem/Ansatz:

Beispielsweise:

7x=7 mod 8

12x=24 Mod 36

Answer 1

Um diese Fragen beantworten zu können, solltest
du mehrere Semester Zahlentheorie und algebraische
Zahlentheorie studieren.

Comments

Tatsächlich mache ich gerade den Kurs „Algebra und Zahlentheorie“ und daher auch die Frage. Weil ich es nicht weiß

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Das ist sehr gut. Da es diverse Typen diophantischer Gleichungen
gibt, aber kein einfaches universelles Lösungsverfahren existiert,
gibt es zu den Typen auch jeweils spezielle Lösungsmethoden,
häufiger auch in Gestalt "schwieriger Theorien".
Man denke etwa an den Satz von Fermat oder
die Lokal- / Globalprinzipien für die Lösungen homogener
Polynomgleichungen in mehreren Variablen.

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Solange man noch keine tiefergehende Zahlentheorie zur Lösung diophantscher Gleichungen kennt, kann man auch Computer-Algebra oder Tabellenkalkulation einsetzen.

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Habe als Beispiel ausversehen Kongruenzsysteme genommen.

Wie wäre die Antwort bei

20x+16y=32

GgT(20,16)=4

4|32 ist erfüllt.

Heißt schonmal, dass es eine Lösung geben muss oder?

Woher weiß ich nun, ob es eine, unendlich viele oder höchstens 30 Lösungen gibt?

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Seien a,b,d ganze Zahlen und seien x,y ganzzahlige Lösungen
der Gleichung aX+bY=d, dann sind auch
x+bz, y-az für jedes ganze z Lösungen von aX+bY=d.
Es gibt also hier unendlich viele Lösungen,
wenn es mindestens eine gibt.