Fakultät im Bruch auflösen

Question

Hallo,

folgende Aufgabe:

(2m m) (Das soll einen Binomialkoeffizienten darstellen) / 2^2m

= (2m)!/(m!)^2 * 2^2m

Kann mir einer erklären, warum im Nenner (m!)^2 steht und nicht einfach (m!) ? Warum Potenz ? Danke

Comments

Wie ist denn ein Binomialkoeffizient definiert?

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Als n!/k! * (n - k). BINGO ! Danke

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Du musst nur einsetzen:

(n über k)

n= 2m

k= m

Mehr steckt nicht dahinter.

Answer 1

(2m über m) = (2m)!/( m!*(2m-m)!) = (2m)!/(m!*m!) = (2m)!/m!^2

Comments

Definition Binomialkoeffizient: (n k) = n!/k! * (n - k)!

Answer 2

Beispiel:\( \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix} \) ist \( \frac{10!}{4!\cdot 6!}\).

Analog dazu ist \( \begin{pmatrix} 10\\5 \end{pmatrix} = \frac{10!}{5!\cdot 5!} \).

Der Faktor 5! tritt also im Nenner doppelt auf, man kann das als \(  \frac {10!}{(5!)^2} \) schreiben.

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(10 5) ist doch nichts weiter außer 10 * 9 * 8 * 7 * 6 / 1 * 2 * 3 * 4 * 5

Wie kommst Du da auf 5! 5! Im Nenner ? Das gleiche bei (10 4) im Nenner steht doch 1 * 2 * 3 * 4, wie kommst Du auf 4! 6! ?

Edit: ich habe verstanden, man nimmt einfach die Definition (n k) = n!/k! * (n - k)!

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(10 5) ist doch nichts weiter außer 10 * 9 * 8 * 7 * 6 / 1 * 2 * 3 * 4 * 5

Ja. Aber es lässt sich durch Erweitern anders darstellen.

Erst wenn du Zähler und Nenner noch mit 1*2*3*4*5 multiplizierst (also wenn du den Bruch damit erweiterst), kannst du den Zähler überhaupt als 10! schreiben.