Zeige das der Betrag aus Summe ka </= 1 ist.

Question

Aufgabe:

Sei f : ℝ→ℝ eine Funktion beschrieben durch f(x) = \( \sum\limits_{k=1}^{n}{a_k \sin(kx)} \) mit a_k ∈ ℝ ∀k ∈ {1,…, n} und es gelte |f(x)| ≤ |sin (x)| für alle x ∈ ℝ. Zeigen Sie :  | \( \sum\limits_{k=1}^{n}{ka_k} \) | ≤1.

Answer 1

Wenn

$$f(x)=\sum_{k=1}^na_k\sin(kx)$$

dann folgt:

$$f(0)=0, \quad f'(x)=\sum_{k=1}^nka_k\cos(kx), \quad f'(0)=\sum_{k=1}^nka_k$$

Wegen

$$|\frac{f(x)-f(0)}{x}|\leq \frac{|\sin(x)|}{|x|} \leq 1$$

folgt \(|f'(0)| \leq 1\), also die Behauptung