Wie berechne ich den Inhalt der Fläche

Question

Aufgabe:

Die Funktion f ist gegeben durch f(x) = 1/2x³ - 3 x²+4x

Der Graph von f schließt mit der Parabel von g mit g (x) = 1/4x²- 1/2x , zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die den Punkt D (1|0) enthält.
Problem/Ansatz:

Comments

Du könntest mal anfangen damit, die Schnittpunkte zu finden und / oder die beiden Funktionen zu plotten.

Answer 1

Die Funktion f ist gegeben durch $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x$
Der Graph von f schließt mit der Parabel von g mit $g (x) = \frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}x$ , zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die den Punkt $D (1|0)$ enthält.

Schnittpunkte bestimmen:

$\frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x=\frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}x|*4$

$2x^3 - 12 x^2+16x=x^2- 2x$

$2x^3 - 13 x^2+18x=0$

$x*(2x^2 - 13 x+18)=0$

$x₁=0$

$2x^2 - 13 x=-18$

$x^2 - \frac{13}{2} x=-9$

$(x - \frac{13}{4})^2=-9+\frac{169}{16}=-\frac{144}{16}+\frac{169}{16}=\frac{25}{16}$

$(x - \frac{13}{4})^2=\frac{25}{16} |\sqrt{~~}$

1.)$x - \frac{13}{4}=\frac{5}{4}$

$x₂=\frac{18}{4}$

2.)$x - \frac{13}{4}=-\frac{5}{4}$

$x₃=2$     $D (1|0)$ liegt zwischen $x₁=0$ und $x₃=2$

Differenzfunktion:

$d(x)= \frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x-(\frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}x)=\frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x-\frac{1}{4}x^2+ \frac{1}{2}x$

$d(x)=\frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{4} x^2+\frac{9}{2}x$

$A= \int\limits_{0}^{2}(\frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{4} x^2+\frac{9}{2}x)*dx$

u.s.w.

Falls eine negative Fläche herauskommt | | setzen.