Differnziebarkeit von f(x) = 3-te Wurzel aus x

Question

Wir sollen mit Hilfe des Differentialquotienten zeigen dass:

f : ℝ → ℝ , f(x) = $\sqrt[3]{x}$ differenzierbar ist auf ℝ \ {0} mit der Ableitung f‘(x) = $\frac{1}{3x^{2/3}}$

Kann mir dabei vielleicht jemand weiterhelfen?

Answer 1

Der Differenzenquotient von $f(t)=\sqrt[3\,]t$ an einer beliebigen Stelle $x\ne0$ lautet$$\begin{aligned}\frac{f(x+h)-f(x)}h&=\frac{\sqrt[3\,]{x+h}-\sqrt[3\,]x}h\cdot\frac{\sqrt[3\,]{(x+h)^2}+\sqrt[3\,]{x(x+h)}+\sqrt[3\,]{x^2}}{\sqrt[3\,]{(x+h)^2}+\sqrt[3\,]{x(x+h)}+\sqrt[3\,]{x^2}}\\&=\frac{(x+h)-x}{h\cdot\Big(\sqrt[3\,]{(x+h)^2}+\sqrt[3\,]{x(x+h)}+\sqrt[3\,]{x^2}\;\Big)}\\&=\frac1{\sqrt[3\,]{(x+h)^2}+\sqrt[3\,]{x(x+h)}+\sqrt[3\,]{x^2}}\quad\xrightarrow{\ h\to0\ }\quad\frac1{3\sqrt[3\,]{x^2}}.\end{aligned}$$Anmerkung: Dabei wurde die Identität a³ - b³ = (a - b)·(a² + a·b + b²) verwendet.

Answer 2

Hallo

Polynomdivision; dividiere den Nenner also x-x0 durch den Zähler also kürze durch den Zähler

lul