Aufgabe:
Auf der Menge \( A:=\{1,2,3,4,5,6\} \) ist die Relation
\( R:=\{(1,1),(1,4),(2,2),(2,5),(3,3),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,4),(4,1),(5,5),(5,2),(6,6)\} \)
gegeben.
(a) Zeigen Sie, dass \( R \) eine Quasiordnung ist, jedoch keine partielle Ordnung.
(Zeigen Sie die Transitivität, indem Sie alle Fälle konkret aufschreiben.)
(b) Bestimmen Sie die Elemente der Faktormenge \( A / \sim \) für die Äquivalenzrelation
\( \sim:=\left\{(a, b) \in A^{2} \mid(a, b) \in R,(b, a) \in R\right\} \)
an.
(c) Geben Sie die zu \( R \) gehörige Faktorordnung \( \leq \) auf der Menge \( A / \sim \) als Menge von Paaren an.
Problem/Ansatz:
Also a) ist reflektiv, da für jedes Element a in A gilt, dass (a,a) in R enthalten ist. Das ist in diesem Fall der Fall, da für jedes Element in A (a,a) in R enthalten ist.
Transitivität: Um die Transitivität von R zu zeigen, können wir alle möglichen Fälle von (a,b) und (b,c) aufschreiben und überprüfen, ob (a,c) in R enthalten ist:
Wenn (1,1) und (1,4) in R enthalten sind, dann ist auch (1,4) in R enthalten.
Wenn (1,4) und (4,1) in R enthalten sind, dann ist auch (1,1) in R enthalten.
Wenn (2,2) und (2,5) in R enthalten sind, dann ist auch (2,5) in R enthalten.
Wenn (2,5) und (5,2) in R enthalten sind, dann ist auch (2,2) in R enthalten.
Wenn (3,3) und (3,1) in R enthalten sind, dann ist auch (3,1) in R enthalten.
Wenn (3,1) und (1,4) in R enthalten sind, dann ist auch (3,4) in R enthalten.
Wenn (3,2) und (2,5) in R enthalten sind, dann ist auch (3,5) in R enthalten.
Wenn (3,4) und (4,1) in R enthalten sind, dann ist auch (3,1) in R enthalten.
Wenn (3,5) und (5,2) in R enthalten sind, dann ist auch (3,2) in R enthalten.
Wenn (4,4) und (4,1) in R enthalten sind, dann ist auch (4,1) in R enthalten.
Wenn (5,5) und (5,2) in R enthalten sind, dann ist auch (5,2) in R enthalten.
Wenn (6,6) und (6,6) in R enthalten sind, dann ist auch (6,6) in R enthalten.
partielle Ordnung: Eine partielle Ordnung ist eine Quasiordnung, die zusätzlich antisymmetrisch ist. Das heißt, für alle Elemente a, b in A gilt, dass wenn (a,b) und (b,a) in R enthalten sind, dann a = b.
In diesem Fall ist R jedoch nicht antisymmetrisch. Es gibt Fälle, in denen (a,b) und (b,a) in R enthalten sind, aber a ≠ b. Beispielsweise ist (1,4) in R enthalten und (4,1) auch, aber 1 ≠ 4. Daher ist R keine partielle Ordnung.
b)
Für die Äquivalenzrelation ∼ ergeben sich die Äquivalenzklassen:
1/ ∼= {1, 4} = 4/ ∼
2/ ∼= {2, 5} = 5/ ∼
3/ ∼= {3}
6/ ∼= {6}
c)
Die Faktorordnung ist
≤= {(1/ ∼, 1/ ∼), (2/ ∼, 2/ ∼), (3/ ∼, 3/ ∼), (6/ ∼, 6/ ∼), (2/ ∼, 1/ ∼), (3/ ∼, 1/ ∼), (3/ ∼, 2/ ∼).}
Es wäre schön, wenn jemand drüberschauen könnte und mir sagen, ob es richtig ist oder wo die Fehler sind.
