Man gebe ein Beispiel einer Relation die symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv ist.

Question

Aufgabe:

Sei ∼ eine Relation auf der Menge M ̸= ∅.
1. Man finde den Fehler in dem ”falschen Beweis“ der folgenden Aussage:
Aussage: Wenn ∼ symmetrisch und transitiv ist, dann ist ∼ auch reflexiv.
”Beweis“: Sei a ∈ M und sei b ∈ M, sodass a ∼ b. Dann folgt aus der Symmetrie auch b∼a. Aus der Transitivität folgt mit a∼b und b∼a, dass a∼a. Also ist∼ reflexiv.
2. Man gebe ein Beispiel einer Relation die symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv ist.

Problem/Ansatz:

Hallo Leute ich komme leider mit der Aufgabe nicht. Könnte jemand bitte helfen? Ich wäre sehr dankbar.

Comments

1) Reflexiv heißt für ALLE a aus M gilt a~a

Im Beweis wird das aber nur für solche a gezeigt, für die ein b mit a~b existiert.

Und das müssen nicht alle sein.

2) leere Relation ∅⊆MxM ist immer symmetrisch und transitiv. Aber wegen M≠∅ nicht reflexiv

---

Danke sehr:)))

---

Könntest du mir viellicht beim beweisen auch helfen?

Answer 1

sei b ∈ M, sodass a ∼ b

Es gibt keinen Grund, dass so ein b existiert.

Comments

Wie meinst du?

---

Satz. Jede Primzahl ist durch \(2\) teilbar.

Beweis. Sei p eine Primzahl. Sei \(n \in \mathbb{N}\), sodass \(2\cdot n = p\) ist. Dann ist \(p:2 = n\). Also ist \(p\) durch 2 teilbar. QED.

Gleiches Problem. Ich habe postuliert, dass ein \(n \in \mathbb{N}\) mit \(2\cdot n = p\) existiert. Wenn ich soetwas mache, dann muss ich auch begründen können, warum so ein \(n\) existiert.