duale Basis, Identität, beweisen

Question

Sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum mit einer geordneten Basis \( \mathcal{B}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right) \) mit dualer Basis \( \left(b_{1}^{*}, \ldots, b_{n}^{*}\right) \subset V^{*} \) und \( \psi \in \operatorname{End}(V) \).

(a) Beweisen Sie, dass die Abbildung
\( \varphi: V \rightarrow V, \quad \varphi(v)=\sum \limits_{k=1}^{n} b_{k}^{*}(v) b_{k} \)
gerade der Identität auf \( V \) entspricht.

(b) Beweisen Sie: Es gibt \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in V^{*} \) mit
\( \forall v \in V: \quad \psi(v)=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}(v) b_{i} . \)

Answer 1

Sei v∈V. Dann gibt es eine eindeutige Darstellung mit der Basis

also genau ein \(  (a_1,\dots,a_n ) \in R^n \) mit  \(  v=\sum \limits_{i=1}^{n} a_ib_{i} \)

\( \varphi(v)=\sum \limits_{k=1}^{n} b_{k}^{*}(v) b_{k} =\sum \limits_{k=1}^{n} b_{k}^{*}(\sum \limits_{i=1}^{n} a_ib_{i}) b_{k}  \)

Wegen der Linearität der b_k^* also

\(  =\sum \limits_{k=1}^{n} (\sum \limits_{i=1}^{n} a_ib_{k}^{*}(b_{i}) b_{k}  \) Und wegen \(  b_{k}^{*}(b_{i})= \delta_{k,i} \) bleibt

\(  = \sum \limits_{i=1}^{n} a_ib_{i} = v \) .

Also für alle \( v \in V \text{ gilt } \varphi(v)= v \).  Damit gilt \(  \varphi(v)= id_V \).

Comments

vielen Dank. Hast du auch eine Idee zu b)?

Answer 2

Zu a)

Da die \(b_i\) eine Basis bilden, reicht es,

\(\varphi(b_i)=b_i\) für \(i=1,\cdots,n\) zu zeigen:

\(\varphi(b_i)=\sum_{k=1}^n b_k^*(b_i)b_k=\sum \delta_{ki}b_k=b_i\),

wobei \(\delta_{ki}\) das Kronecker-Delta ist.

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vielen Dank für die Hilfe