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ich habe zu einem doch sehr einfachen Beweis noch ein paar Verständnisprobleme. Ich würde mich freuen, wenn mich jemand darüber aufklären könnte.

Es soll gezeigt werden, dass (id_V)* = id_V* gilt.

Das zeigt man meiner Meinung nach durch (id_V)*(v) = v(id_V)=v=id_V*(v).

Aber von wo nehme ich jetzt eigentlich das v? id_V* bildet von V* auf V* ab, also bildet id_V*(v) ein v aus V* auf sich selbst ab. Wenn das v aber aus V* stammt, dann kann man doch nicht sagen, dass v(id_V)=v ist, oder? Denn id_V bildet ja von V auf V ab und kann mit einem v aus V* gar nichts anfangen.

Irgendwo ist mein Denkfehler, aber ich weiß im Moment nicht wo.

Viele Grüße

von

1 Antwort

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allgemein ist ja wenn f: V ---.> W geht,  f * : W* ---> V *
jetzt ist das f ja idV   : V ---> V  also ( idV  )* : V* ---> V* und zwar wenn a aus V* ist,
dann ist ( idV  )* (a) = a Ο idV  = a
Also jedes a aus V*wird auf sich abgebildet und damit ist diese
Abbildung zugleich die identische Abb. von V*.

zu deiner Überlegung: Wenn das v aber aus V* stammt, dann kann man doch nicht sagen, dass v(id_V)=v ist, oder? Denn id_V bildet ja von V auf V ab und kann mit einem v aus V* gar nichts anfangen.
also dein v ist ja mein a.

kann man doch nicht sagen, dass v(id_V)=v ist, oder? Denn id_V bildet ja von V auf V ab
aber (id_V) ist ein Element von Hom(V;V) und dann ist v(id_V) die Hintereinanderausführung
von id_V  ( Das Ergebnis ist also wieder in V) und dann v welches ja aus V* ist, also
das Element von V in den Grundkörper abbildet.
von 228 k 🚀

Vielen Dank für die umfangreiche Erklärung. Ich war mir bei meiner Überlegung nicht bewusst, dass jedes v aus V' eine Linearform ist, also eine Abbildung von V auf K. Damit ist mir der Beweis nun klar.

Grüße

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