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Aufgabe:

Seien n1,K n \geq 1, K ein Körper, a,bK a, b \in K mit ab a \neq b und Cn=(cij)Kn×n C_{n}=\left(c_{i j}\right) \in K^{n \times n} mit
Cn=(a+bab01a+bab01a+b), also cij={a+b fu¨i=j,ab fu¨i=j1,1 fu¨i=j+1,0 sonst.  C_{n}=\left(\begin{array}{cccc} a+b & a b & & 0 \\ 1 & a+b & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & a b \\ 0 & & 1 & a+b \end{array}\right), \text { also } c_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} a+b & \text { für } i=j, \\ a b & \text { für } i=j-1, \\ 1 & \text { für } i=j+1, \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right.
Zeigen Sie det(Cn)=an+1bn+1ab \operatorname{det}\left(C_{n}\right)=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} .



Problem/Ansatz:

Mein Plan war es das über Induktion und der Definition der Determinante zu machen. Irgendwie klappt das nicht so 100% wie ich will.

Wäre über Hilfe/Lösung sehr dankbar.

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Ich schreib dir mal den Induktionsschritt n1nn-1 \rightarrow n hin.

detCn=(a+b)detCn1abdetCn2\det C_n = (a+b)\det C_{n-1} - ab\det C_{n-2}

=(a+b)anbnababan1bn1ab= (a+b)\frac{a^n-b^n}{a-b} - ab\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}

=ausrechnenan+bn+1ab\stackrel{ausrechnen}{=} \frac{a^{n+}-b^{n+1}}{a-b}

Beachte, für diese Induktion musst du für den Induktionsanfang zeigen, dass die Formel sowohl für C1C_1 als auch für C2C_2 richtig ist.

Avatar von 12 k

ah ich dummkopf hab mir die matrizen aufgezeichnet und dachte ich kann dann die Determinanten über die Diagonale bestimmen. Aber so macht es das natürlich deutlich leichter vielen dank euch beiden!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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Mein Plan war es das über Induktion und der Definition der Determinante zu machen.

Gute Idee.

Wenn du das nach der ersten Zeile entwickelst, musst du nur (a+b) mit der Determinante multiplizieren, die nach Streichen der ersten Zeile und Spalte bleibt (und die ist auch mit reichlich Nullen besetzt).

Dann musst du a*b mit der Determinante multiplizieren, die nach Streichen der ersten Zeile und zweiten Spalte bleibt.

Alle weiteren Elemente der ersten Zeile sind 0 und tragen nichts mehr zum Ergebnis bei.

Es bleibt, die Differenz der beiden ersten Ergebnisse zu bilden.

Avatar von 56 k 🚀

Ja ich habs probiert und verstehe was ich machen soll, aber dann erhalte ich wieder 2 matrizen mit denen ich bis auf die zweite nichts anfangen kann. :D

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