Zeige: f besitzt ein Minimum, falls lim x→±∞ f(x) = ∞

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R eine stetige Funktion. Zeige:
f besitzt ein Minimum, falls lim x→±∞ f(x) = ∞

Problem/Ansatz:

Ich verstehe was die Aufgabe will, aber wie soll ich das beweisen ? Muss ich es, anhand von allgemein mathematischen Sätzen beweisen, oder kann ich eine Funktion finden, die diesen Eigenschaften ensprechen ? Muss ich selbst ein Intervall finden, um zu zeigen, dass es ein Minimum besitzt ?

Vielen Dank !

Comments

Du hast die Antwort von M als beste markiert, deshalb die Warnung: Das ist keine Antwort, gefragt ist nach einem Beweis

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Du hast die Antwort von M als beste markiert, deshalb die Warnung: Das ist keine Antwort, gefragt ist nach einem Beweis

Bitte stelle eine Antwort bereit, mich interessiert der Beweis.

Answer 1

Es sei: $f(x)=x^2$

$\lim\limits_{x\to\infty}x^2$ die Funktion geht gegen $+∞$

$\lim\limits_{x\to-\infty}x^2$ die Funktion geht gegen $+∞$

Somit hat der Graph von $f(x)=x^2$ ein Minimum und zwar bei $N(0|0)$

$x$	-5	-2	0	10
$x^{2}$	25	4	0	100

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Einen Daumen von mir für den Mut, seinen Namen unter so ein Machwerk zu setzen.

Answer 2

Sei

$$M:=\{x \in \R \mid f(x) \leq f(0)\}$$

Wegen der Stetigkeit von f ist M abgeschlossen.

M ist auch beschränkt. Denn sonst existiert eine Folge $(x_n)$ in M mit $x_n \to \infty$ oder eine Folge mit $x_n \to -\infty$. Wegen $f(x_n) \leq f(0)$ wäre dies ein Widerspruch zur Konvergenz gegen $\infty$.

Da M abgeschlossen und beschränkt ist, besitzt die stetige Einschränkung $f:M \to \R$ ein Minimum. Dieses ist auch globales Minimum

Comments

Wieso ist das ein Beweis, falls M = ∅  ist ?

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0 ist in M, denke ich

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Das ist ein schlagendes Argument.