Die Gleichung soll mindestens eine Lösung in R besitzen.

Question

Aufgabe:

Die Gleichung soll mindestens eine Lösung in R besitzen.

x³-√∣x∣ +e^x=3

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Gleichung lösen ? Es ist ja eine Verkettung von anderer Funktionen, aber wie kann ich da eine Lösung zeigen ?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst das Problem ummünzen auf die Suche von Nullstellen der Funktion$$f(x)\coloneqq x^3-\sqrt{|x|}+e^x-3$$Man sieht schnell, dass $f(1)=e-3<0$ und $f(2)=5-\sqrt2+e^2>0$ ist. Da die Funktion stetig ist, muss sie eine Nullstelle im Intervall $(1;2)$ besitzen. Wir beschränken uns bei der Nullstellensuche auf dieses Intervall, sodass wir die Betragszeichen unter der Wurzelfunktion weglassen dürfen:$$f(x)=x^3-\sqrt x+e^x-3\stackrel!=0\quad;\quad x\in(1;2)$$

Zur konkreten Bestimmung der Nullstelle verwenden wir das Newton-Verfahren. Das heißt, wir starten mit einem Schätzwert$x_0\in(1;2)$ und legen die Tangente durch diesen Punkt an den Graphen von $f(x)$:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Die Nullstelle dieser Tangente$$0\stackrel!=t(x)\quad\implies\quad x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$wählen wir dann als neuen Schätzwert für die Nullstelle. Wir berechnen also:$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\quad;\quad x_0=\text{Schätzwert}$$solange, bis wir das Ergebnis mit der gewünschten Genauigkeit erhalten.

Wir wählen als ersten Schätzwert die Mitte unseres Intervalls $x_0=1,5$. Zum Glück ist die Ableitung nicht schwierig zu bilden, sodass:$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-\sqrt{x_n}+e^{x_n}-3}{3x_n^2-\frac{1}{2\sqrt{x_n}}+e^{x_n}}\quad;\quad x_0=1,5$$

Ab hier habe ich Tante Excel mit dem Rechnen beauftragt:

Die gesuchte Nullstelle liegt also bei $x\approx1,051656814$.

Answer 2

hallo

1. schreib es als f(x)=0

2. setze 2 Werte ein etwa 0 und 3 einmal ist f(x)<0 einmal größer 0 also dazwischen ein Nullstelle

Gruß lul

Answer 3

In die Nullform bringen, Zwischenwertsatz verwenden.

https://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz

Answer 4

x≈0,051657 zum Beispiel mit den Newtonschen Näherungsverfahren.