linear abhängige Vektoren mit zwei Unbekannten

Question

Aufgabe:

Lineare Abhängigkeit

a) Für welche Werte der reellen Parameter $a$ und $b$ sind die drei Vektoren

$v_{1}=\left(\begin{array}{c} a \\ 1 \\ -b \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} -1 \\ -b \\ a \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{l} 1-a \\ b-1 \\ b-a \end{array}\right)$

linear abhängig?

Problem/Ansatz:

Ich habe zwei unbekannte Parameter und bin mir nicht sicher, wie ich das ganze angehen soll. Also mir würde jetzt einfallen einfach das hinzuschreiben

a-1 = 1-a

1-b = b-1

-b+a =b-a

Da würde jetzt 0 rauskommen, also ist es für alle Zahlen a,b linear abhängig ? Sprich es hat unendlich viele Lösungen?

Answer 1

Aloha :)

Die 3 Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie kein 3-dimensionales Volumen aufspannen, wenn also das 3-dimensionale Volumen gleich $0$ ist. Das Volumen kannst du mit dem Spatprodukt$$V=\left|\vec v_1\cdot\left(\vec v_2\times\vec v_3\right)\right|$$oder mit der Determinante bestimmen:$$V=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1-a\\1 & -b & b-1\\-b & a & b-a\end{array}\right)\right|=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & \pink{-1} & 1-a\pink{-1}\\1 & \pink{-b} & b-1\pink{-b}\\-b & \pink a & b-a\pink{+a}\end{array}\right)\right|$$$$\phantom V=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & -a\\1 & -b & -1\\-b & a & b\end{array}\right)\right|=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1\green{-a} & -1 & \green{-a}\\1\green{-1} & -b & \green{-1}\\-b\green{+b} & a & \green b\end{array}\right)\right|$$$$\phantom V=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1-a & -1 & -a\\0 & -b & -1\\0 & a & b\end{array}\right)\right|=\left|(1-a)\cdot(-b^2+a)\right|\stackrel{!}{=}0$$Das Produkt ist genau dann $=0$, wenn einer der beiden Faktoren gleich $0$ ist:$$a=1\quad\lor\quad a=b^2$$Wenn mindestens eine der beiden Bedingungen erfüllt ist, sind die 3 Vektoren linear abhängig voneinander.

Answer 2

Da würde jetzt 0 rauskommen, also ist es für alle Zahlen a,b linear abhängig ?

Ja. Gut erkannt ! $v_1+v_2+v_3=0$ unabhängig

von a und b.

Answer 3

Also mir würde jetzt einfallen einfach das hinzuschreiben

a-1 = 1-a

1-b = b-1

-b+a =b-a

Das stimmt aber nicht. richtig ist

a-1 = -(1-a)

1-b = -(b-1)

-b+a =-(b-a)