Unstetigkeit/Funktionen In welchen Punkten ist Funktion unstetig Rechenweg

Question

AUFGABE 3: Hey, ich hätte folgende Aufgabe wo ich hilfe bräuchte:

Kann mir bitte jemand den kompletten rechenweg zeigen, wäre super lieb.

!AUFGABE3! Danke

Es sei die Funktion \(f:\space [0,\infty) \to \mathbb{R}\) gegeben durch$$f(x)=\begin{cases} 2\ln(3x)+4 &\text{für } x \gt 0\\ 4&\text{für }x=0\end{cases}$$In welchen Punkten ist \(f\) unstetig?

A. nur in 0

B. nur in 4

C. genau in 0 und 4

D. nirgends

Answer 1

Da gibt es nicht viel zu rechnen. Es gibt ja auch nur 1 Punkt.

Die Funktion

\(2\ln(3x) + 4\)

ist zunächst stetig auf \((0,\infty)\) als Hintereinanderausführung der auf \((0,\infty)\) stetigen Funktionen \(3x\) und \(\ln x\).

Weiterhin ergibt das Multiplizieren einer stetigen Funktion mit einer Konstanten und das Addieren einere Konstante zu einer stetigen Funktion wieder eine stetige Funktion.

Wenn \(f\) auch in 0 stetig wäre, müsste gelten

\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x) = f(0) = 4\)

Es ist aber

\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}(2\ln(3x) + 4) = -\infty \neq 4\)

Damit ist \(f\) nur unstetig in \(x=0\).

Comments

Vielen dank für deine hilfe.

Wenn man aber die andere möglickeit, also 4 eingibt, sollte doch oben und unten das selbe raus kommen oder? Setzt man 4 in 2ln(3×4)+4 kommt dort nicht 4 raus. Damit es aber stetig wärr müsste doch oben und unten das selbe rauskommen??

Danke im voraus

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Wenn du in \(x^2\) für x die Zahl 4 einsetzt, kommt auch nicht 4 raus. Aber \(f(x) = x^2\) ist trotzdem stetig.
Und was meinst du mit oben und unten?