Unstetigkeit/Funktionen In welchen Punkten ist Funktion unstetig Rechenweg

Question

AUFGABE 3: Hey, ich hätte folgende Aufgabe wo ich hilfe bräuchte:

Kann mir bitte jemand den kompletten rechenweg zeigen, wäre super lieb.

!AUFGABE3! Danke

Es sei die Funktion $f:\space [0,\infty) \to \mathbb{R}$ gegeben durch$$f(x)=\begin{cases} 2\ln(3x)+4 &\text{für } x \gt 0\\ 4&\text{für }x=0\end{cases}$$In welchen Punkten ist $f$ unstetig?

A. nur in 0

B. nur in 4

C. genau in 0 und 4

D. nirgends

Answer 1

Da gibt es nicht viel zu rechnen. Es gibt ja auch nur 1 Punkt.

Die Funktion

$2\ln(3x) + 4$

ist zunächst stetig auf $(0,\infty)$ als Hintereinanderausführung der auf $(0,\infty)$ stetigen Funktionen $3x$ und $\ln x$.

Weiterhin ergibt das Multiplizieren einer stetigen Funktion mit einer Konstanten und das Addieren einere Konstante zu einer stetigen Funktion wieder eine stetige Funktion.

Wenn $f$ auch in 0 stetig wäre, müsste gelten

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x) = f(0) = 4$

Es ist aber

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+}(2\ln(3x) + 4) = -\infty \neq 4$

Damit ist $f$ nur unstetig in $x=0$.

Comments

Vielen dank für deine hilfe.

Wenn man aber die andere möglickeit, also 4 eingibt, sollte doch oben und unten das selbe raus kommen oder? Setzt man 4 in 2ln(3×4)+4 kommt dort nicht 4 raus. Damit es aber stetig wärr müsste doch oben und unten das selbe rauskommen??

Danke im voraus

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Wenn du in $x^2$ für x die Zahl 4 einsetzt, kommt auch nicht 4 raus. Aber $f(x) = x^2$ ist trotzdem stetig.
Und was meinst du mit oben und unten?