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Berechnen Sie die folgenden Integrale von

f(x)= e^x*sinx, g(x)= e^x*(x^1+2x+1), h(x) = x (lnx)^2 und i(x) = x^3 lnx

durch partielle Integration:

$$ \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ x \sin x d x $$

$$ \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ x ( x + 2 x + 1 ) d x $$

$$ \int _ { 1 } ^ { e } x ( \ln x ) ^ 2 d x $$

$$ \int _ { 1 } ^ { e } x ^ 3 \ln x d x $$

von

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Partielle Integration funktioniert folgendermaßen:

∫uv' dx = uv - ∫u'v dx

Damit erhält man z.B. für die ersten beiden Aufgaben:

$$ \begin{array} { l } { \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { x } \sin ( x ) d x = e ^ { x } \sin \left. ( x ) \right| _ { - \pi } ^ { \pi } - \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { x } \cos ( x ) d x = - e ^ { x } \cos \left. ( x ) \right| _ { - \pi } ^ { \pi } - \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { x } \sin ( x ) d x } \\ 2 \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { x } \sin ( x ) d x = e ^ { \pi } - e ^ { - \pi } \\ { \Rightarrow \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { x } \sin ( x ) d x = \frac { e ^ { \pi } - e ^ { - \pi } } { 2 } = \sinh ( \pi ) } \end{array} $$


$$ \begin{array} { l } { \int _ { l } ^ { e } x ( \ln ( x ) ) ^ { 2 } d x = \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \left. ( \ln ( x ) ) ^ { 2 } \right| _ { 1 } ^ { e } - \int _ { 1 } ^ { e } x ^ { 2 } \ln ( x ) \frac { 1 } { x } d x } \\ { = \frac { e ^ { 2 } } { 2 } - \int _ { 1 } ^ { e } x \ln ( x ) d x = \frac { e ^ { 2 } } { 2 } - \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \ln \left. ( x ) \right| _ { I } ^ { e } - \int _ { 1 } ^ { e } \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \frac { 1 } { x } d x \right) } \end{array} \\ = \frac { e ^ { 2 } } { 2 } - \frac { e ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 1 } ^ { e } x d x = \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right] _ { 1 } ^ { e } = \frac { e ^ { 2 } - 1 } { 4 } $$

Meinst du, du schaffst den Rest alleine?

Ich gebe dir zur Kontrolle mal die Lösungen an:

$$ \begin{array} { l } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { x } ( x + 2 x + 1 ) d x = \frac { 5 } { e } + e } \\ { \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { x } \left( x ^ { 2 } + 2 x + 1 \right) d x = 2 e - \frac { 2 } { e } } \\ { \int _ { 1 } ^ { e } x ^ { 3 } \ln ( x ) d x = \frac { 1 + 3 e ^ { 4 } } { 16 } } \end{array} $$

Bei dem einen habe ich mal noch das gleiche mit einem x² angegeben, ich denke, da hast du dich vielleicht vertippt?

von 10 k

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