Aufgabe:
h) \( \int \limits_{0}^{1}(\ln (x))^{2} \mathrm{~d} x \)
Problem/Ansatz:
Hallo! Könnte mir jemand eine Rückmeldung geben, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe? In den Lösungen steht, dass das Integral divergiert, aber bei mir konvergiert es. Habe ich hier falsch gerechnet bzw. wie müsste ich hier vorgehen?
\( \begin{array}{l}\text { h) } \int \limits_{0}^{1}(\ln (x))^{2} d x=\int \limits_{0}^{1} \frac{1}{\mu^{\prime}} \frac{(\ln (x))^{2}}{v} d x \\ u=x \quad \mu^{\prime}=1 \\ v=\ln (x)^{2} \quad v^{\prime}=\frac{2 \ln (x)}{x}=\frac{1}{x} \cdot 2 \ln (x) \\ x \cdot \ln (x)^{2}-\int \limits_{0}^{1} x \cdot \frac{2 \ln (x)}{x} d x \cdot \frac{2 \ln ^{2}(x)}{2} \\ x \cdot \ln (x)^{2}-\int \limits_{0}^{1} \frac{2 \ln (x)}{u^{\prime}} d x= \\ u=2 x \quad \mu^{\prime}=2 \\ v=\ln (x) \quad v^{\prime}=\frac{1}{x} \\ x \cdot \ln (x)^{2}-\left(2 x \cdot \ln (x)-\int \limits_{0}^{1} 2 x \cdot \frac{1}{x} d x\right. \\ x \cdot \ln (x)^{2}-\left(2 x \cdot \ln (x)-[2 x]_{0}^{1}\right) \\ \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} x \cdot \ln (x)^{2}-2 x \ln (x)+2=2\end{array} \)
