x²-x+2 x= x0= 4/3 h-> 0

Question

Ich habe einen Blackout und bin komplett verwirrt wie man diese Aufgabe rechnet ?

Bitte um Hilfe!

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { b) } f(x)=x^{2}-x+2 \quad x_{0}=\frac{4}{3} \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-\left(x_{0}\right)}{h} \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}=\frac{f\left(\frac{4}{3}+h\right)-\left(\frac{4}{3}\right)}{h} \\ f\left(\frac{4}{3}+h\right)=1 \cdot\left(\frac{4}{3}+h\right)^{2}-1 \cdot\left(\frac{4}{3}+h\right) 22 \\ f\left(\frac{4}{3}\right)=1 \cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-1 \cdot\left(\frac{4}{3}\right)+2 \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0^{2}} \frac{1 \cdot\left(\frac{4}{3}+h\right)^{2}-1 \cdot\left(\frac{4}{3}+h\right)+2-\left[1 \cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-1 \cdot\left(\frac{4}{3}\right)+2\right]}{h} \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}=\frac{\left.\left(\frac{8}{3}+\frac{4}{3} h+h^{2}\right)\right)\left(-\frac{4}{3}-h\right)+2-\left[\left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{4}{3}\right)+2\right.}{h} \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}=\frac{\frac{8}{3}+\frac{4}{5} h+h^{2}-\frac{4}{3}-h+\alpha-\frac{8}{3}-\frac{4}{3}+\alpha}{h} \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}=\frac{\frac{8}{3}+\frac{4}{3} h+h^{2}-\frac{4}{3}-b+\alpha-\frac{8}{3}-\frac{4}{3}, \alpha}{4} \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}=\frac{\frac{1}{3} h+h^{2}-\frac{2}{3}}{h} \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}=\frac{h\left(\frac{1}{3}+h\right)-\frac{2}{3}}{h} \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}=\frac{\hbar\left(\frac{1}{3}+h\right)-\frac{2}{3}}{k} \\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}=1 \\\end{array} \)

Answer 1

\( \lim\limits_{h\to0} \frac{(x+h)^2-(x+h)+2-(x^2-x+2)}{h}\)    bei \(x₀= \frac{4}{3} \)

Nun alle \(x\) durch \(x₀\) ersetzen:

\( \lim\limits_{h\to0} \frac{(x+h)^2-(x+h)+2-(x^2-x+2)}{h}\)

\( \lim\limits_{h\to0} \frac{( \frac{4}{3}+h)^2-( \frac{4}{3}+h)+2-( (\frac{4}{3})^2- \frac{4}{3}+2)}{h}\)

\( \lim\limits_{h\to0} \frac{( \frac{16}{9}+ \frac{8}{3}h+h^2)-( \frac{4}{3}+h)+2- (\frac{16}{9}- \frac{4}{3}+2)}{h}\)

\( \lim\limits_{h\to0} \frac{ \frac{16}{9}+ \frac{8}{3}h+h^2-\frac{4}{3}-h+2- \frac{16}{9}+\frac{4}{3}-2}{h}\)

\( \lim\limits_{h\to0} \frac{  \frac{8}{3}h+h^2-h}{h}\)=\( \lim\limits_{h\to0} \frac{8}{3}+h-1=\frac{5}{3}\)

Comments

Nun alle \(x\) durch \(x₀\) ersetzen:

Das ist vom Schreibaufwand nun wirklich nicht die beste Idee, solchen Mist wie 4/3 und 16/9 zeilenlang mitzuschleppen.

Man kann den Term in allgemeiner Form vereinfachen und erst so spät wie möglich 4/3 einsetzen.

Answer 2

Hallo,

du hast die Formel falsch geschrieben:

\( f^{\prime}(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-\red f(x)}{h} \)

und nicht

Gruß, Silvia

Answer 3

Hallo,

deine Lösung enthält mehrere Fehler.

 \(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\left(\frac{4}{3}+h\right)^{2}-\left(\frac{4}{3}+h\right)+2-\left(\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-\left(\frac{4}{3}\right)+2\right)}{h} \\=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\frac{16}{9}+\frac83 h+h^2-\frac{4}{3}-h+2-\frac{16}{9}+\frac{4}{3}-2}{h}  \\=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cancel{\frac{16}{9}}+\frac83 h+h^2\cancel{-\frac{4}{3}}-h~~\cancel{+2}\cancel{-\frac{16}{9}}\cancel{+\frac{4}{3}}\cancel{-2}}{h} \\=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\frac83 h+h^2-h}{h}  \\=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{h\left(\frac83 - 1 + h\right)}{h}   \\=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \left(\frac83 - 1 + h\right)\\=\dfrac53 \)

Comments

Dankeschön...........