DGL Definitionsbereich einschränken

Question

Aufgabe: Hier soll eine Lösung der DGL für das Anfangswertproblem angegeben werden.

Problem/Ansatz:

Warum muss hier das Intervall I für x nicht weiter eingeschränkt werden. Aufgrund der Anfagnsbedingung betrachten wir y ja nur für für positive werte.Jedoch kann die Wurzel ja negativ werden,was dann im W

Text erkannt:

(iii) \( + \) (iv) Jetzt bilden wir auf beiden Seiten die Stammfunktion
\( \frac{1}{3} y^{3}=x-\frac{1}{3} x^{3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \)
Mit \( C:=3 c \)
\( y^{3}=3 x-x^{3}+C, \quad c \in \mathbb{R} \)
\( (\rightarrow) \) Anfangsbedingung einbauen:
Es soll gelten \( y(0)=1 \). Einsetzen in \( (*) \) :
\( \begin{aligned} 1^{3} & =3 \cdot 0-0^{3}+C . \\ 1 & =C . \end{aligned} \)
Also erhalten wir \( C=1 \) und damit wird (*) zu
\( y^{3}=3 x-x^{3}+1 \)
(v) Auflösen nach \( y \) liefert die gesuchte Lösung:
\( y(x)=\sqrt[3]{3 x-x^{3}+1} \)

iderspruch dazu steht,dass y nur positiv sein kann.

Comments

Mir ist nicht klar was Du fragst. Die Lösungsfunktion ist überall definiert. Aber nur bis zu eventuellen Nullstellen des Radikanden differenzierbar.

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Hallo

dass y(0) positiv ist heisst ja nicht, dass y immer größer sein muss. Für praktische Anwendungen kann das zwar richtig sein, wenn etwa eine Dgl nur für Zeit >0 definiert ist, aber das ist mathematisch ja kein Grund die negativen Werte als nicht definiert zu sehen. Es Seiden y>0 steht in den Vors.

lul