Gleichungen aus logarithmen einschränken

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie die folgenden Gleichheiten (mit geeigneten Einschränkungen der Variablen)

1/2 * ln(x)- 3/2 * ln(1 / x)-ln(x + 1) = ln((x^2)/(x+1))

Ansatz:

1/2 * ln(x)- 3/2 * ln(1 / x)-ln(x + 1) = ln((x^2)/(x+1))

= 1/2 * ln(x) -3/2 * (ln(1) - ln(x)) - ln(x + 1) = ln(x^2) - ln(x + 1)

= 1/2 * ln(x) - 3/2 * (0 - ln(x)) - ln(x + 1) = ln(x^2) - ln(x+1)

= 2 * ln(x) - ln(x + 1) = ln(x^2) - ln(x + 1)

= 2 * ln(x) - ln(x + 1) = ln(x) + ln(x) - ln(x+1)

= 2 * ln(x) - ln(x + 1) = 2 * ln(x) + ln(x + 1)

Nun bin ich allerdings bei der Einschränkung von x verwirrt. Aus ln(x + 1) folgt x + 1 > 0 => x > -1. Aus ln(x) folgt x > 0 aber aus ln(x^2) folgt x != 0. Welches der beiden überwiegt dabei bei der Einschränkung? (In der Musterlösung steht x>-1 und x!= 0).

Danke schonmal für jegliche Hilfe.

Answer 1

Hallo,

es gibt nur die Einschränkung \(x \gt 0\), da ja gleich am Anfang der Term \(\ln(x)\) steht. \(x \gt 0\) beinhaltet natürlich \(x \ne 0\) und \(x \gt -1\).

Jede positive Zahl \(x\) erfüllt die Gleichung$$\begin{aligned} \frac 12  \ln(x)- \frac 32 \ln\left( \frac 1x \right) - \ln(x + 1) &= \ln\left( \frac{x^{2}}{x+1}\right) && \left|\, x \gt 0\right.\\ \frac 12  \ln(x)- \frac 32 \ln\left( \frac 1x \right) - \ln(x + 1) &= \ln\left( x^2\right) -\ln\left( x+1\right)  && \left|\, + \ln(x+1)\right.\\ \frac 12  \ln(x)- \frac 32 \ln\left( \frac 1x \right) &= 2\ln\left( x\right)  && \left|\, - \frac 12 \ln(x)\right.\\ - \frac 32 \ln\left( \frac 1x \right) &= \frac 32\ln\left( x\right)  && \left|\, \cdot \frac 23 \right.\\ - \ln\left( \frac 1x \right) &= \ln\left( x\right)  \\ \ln\left( x \right) &= \ln\left( x\right)  \\ \end{aligned}$$wie man sieht.

Comments

Verstehe, also guckt man sich die Einschränkungen in allen Gleichungen an und übernimmt daraus die "stärkste"?

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... also guckt man sich die Einschränkungen in allen Gleichungen an

nur in der ersten Gleichung. Dort aber in allen Termen.
Wenn Du bei den Umformungen z.B. die Gleichung durch \((x-1)\) dividierst, so musst Du den Fall \(x=1\) mit berücksichtigen. Wenn \(x=1\) vorher Teil der Definitionsmenge war, so ist es danach immer noch so!