Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks

Question

Die Höhe h auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ABC teilt dies in die beiden rechtwinkligen Dreiecke AHC und HBC. r₁ sei der Radius des Inkreises von ABC, r₂ sei der Radius des Inkreises von AHC und r₃ sei der Radius des Inkreises von HBC. Drücke h durch r₁, r₂ und r₃ aus.

Comments

Eigentlich sollten zwei gegebene Größen ausreichen, nämlich zum Beispiel r₂ und r_{3 .}

r₁ kann man dann leicht berechnen, denn es muss gelten     r₁² =  r₂² + r₃² .

Begründung:  Die Dreiecke  ABC , ACH und CBH sind ähnlich. Ihre Inkreisradien verhalten sich zueinander so wie ihre Hypotenusen c , b und a , und für diese gilt die Pythagoras-Gleichung.

Answer 1

Die Lösung ist wirklich schöner als man gedacht hätte !

Comments

Danke für den Stern !

Für alle, die dem Lösungsweg noch nicht ganz auf die Spur gekommen sind:

Als Hilfsbezeichnung für den Inkreisradius des Dreiecks ABC verwende ich jetzt auch noch die dafür übliche Standardbezeichnung  ρ . Für dieses ρ (welches mit r₁ identisch ist), gilt dann, wenn F der Flächeninhalt von ABC ist, die Gleichung

u · ρ =  2 · F  = c · h  ( = a · b )

Nach h aufgelöst, hat man dann:

h = ( u· ρ ) / c = [ (a + b + c) · r₁ ] / c  =  r₁ ·  [ a/c + b/c + c/c ]

Wegen der Ähnlichkeit der Tripel (c,b,a) und  (r₁ ,r₂ , r₃), welche ich in meinem obigen Kommentar schon erwähnt hatte, gilt dann auch:

h =  r₁ · [ r₃ / r₁ + r₂ / r₁ + r₁ / r₁ ]  =  r₃ + r₂ + r₁