Wie kommt man auf die Integraldarstellung (X und Y unabhängig)?

Question

Aufgabe:

$\displaystyle F_{z}(z)=P(Z \leq z)=P(X Y \leq z)=P\left(X \leq \frac{z}{Y}\right)=\int \limits_{0}^{\infty} f_{Y}(y) \int \limits_{0}^{2/y} f_{x}(x) d x \, d y=\int \limits_{0}^{\infty} F_{x}\left(\frac{z}{y}\right) f_{y}(y) d y$

Problem/Ansatz:

Hey, seht ihr vielleicht, wie man auf die Integraldarstellung kommt? X und Y sind unabhängige Zufallsvariablen. Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

LG

Comments

Also wenn ich es richtig verstehe, ist ja P(X≤$\frac{z}{Y}$ gleichbedeutend mit P(X≤$\frac{z}{Y}$, Y≥0), denn damit XY≤z erfüllt ist, kann Y alle Werte von 0 bis unendlich laufen und das Produkt wäre immer noch Kleiner gleich z. Wenn aber die Zufallsvariablen unabhängig sind, kannst du die gemeinsame Verteilung aufteilen in P(X≤z/Y) * P(Y≥0) und dann entsprechend das Integral bilden.

Das einzige, wo ich mir noch nicht sicher bin, ist inwieweit du noch hier mit Fubini argumentieren musst...

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Ist überhaupt bekannt, dass die Dichtefunktionen stetig sind?

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Hey, vielen lieben dank für deine Hilfe und tut mir leid für die fehlende Information, sie sind stetig!:)

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Dann würde ich es so machen: P(X≤$\frac{z}{Y}$) =P(X≤$\frac{z}{Y}$, Y≥0) das hatten wir ja schon. Dann Dann weißt du, die gemeinsame Dichte ist stetig und damit folgt nach dem Satz von Fubini P(X≤$\frac{z}{Y}$, Y≥0) =$\int\limits_{0}^{∞}$ $\int\limits_{0}^{\frac{z}{y}}$f(x, y) dydy

und dann kannst du benutzen, dass die Zufallsvariable unabhängig sind. Somit kannst du die gemeinsame Dichte aufspliten in f(x) und f(y) und f(y) vorziehen. Dann hast dus

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Hallo, vielen lieben Dank für deine Hilfe!