Bestimme a 0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den angegeben Inhalt A hat.

Question

Aufgabe

Bestimme a > 0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den angegeben Inhalt A hat.

Problem/Ansatz:

A)

f(x)= -x² + 2a²

g(x)= x²

A=72

Answer 1

Hallo,

bilde die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x), setze sie = 0 und löse nach x auf.

Ergebnis x = a

Wegen der Symmetrie zur y-Achse genügt es, wenn du das Integral von 0 bis a mit der Stammfunktion $H(x)=-\frac{2}{3}x^3+2a^2x$ berechnest und = 36 setzt.

$H(a)=-\frac{2}{3}a^3+2a^3=\frac{4}{3}a^3\quad H(0)=0\\\\ \frac{4}{3}a^3=36\\ a^3=27\\ a=3$

Gruß, Silvia

Comments

Hallo, wieso nur =36 und nicht =72?

Answer 2

$f(x)= -x^2 + 2a^2$     $g(x)= x^2$        $A=72$

Schnittpunkte:

$-x^2 + 2a^2=x^2$

$x^2=a^2$

$x=|a|$  entfällt , da $a>0$   $x=a$

Differenzfunktion:

$d(x)=-x^2 + 2a^2-x^2=-2x^2+2a^2$

Da beide Graphen symmetrisch zur y-Achse sind:

$36= \int\limits_{0}^{a} (-2x^2+2a^2)dx=[-\frac{2}{3}x^3+2a^2*x]→[ -\frac{2}{3}a^3+2a^3 ]-0=\frac{4}{3}*a^3$

$\frac{4}{3}*a^3=36$   →    $\frac{1}{3}*a^3=9$   → $a^3=27$  →  $a=3$

Comments

Hallo, wieso =36?

---

Du kannst das Integral von -a bis a berechnen und = 72 setzen oder nur von 0 bis a, was die halbe Fläche ist. Das ändert nichts am Ergebnis, denn rechts und links der y-Achse sind die Flächenstücke gleich groß.

---

Achso ok, danke! Woran erkennt man so einen Fall? Einfach nur weil es -a -> a ist?

---

Bei den Graphen handelt es sich jeweils um unverschobene Parabeln, die symmetrisch zur x-Achse sind.

---

Bei einer Aufgabe b) ist die Frage nun mit

f(x) = x²

g(x) =ax

A =4/3

Als Schnittpunkte komme ich auf A und 0.

Wie würde ich jetzt weiter vorgehen?

---

$f(x)=x^2$     $g(x)=a*x$       $A=\frac{4}{3}$

Nullstellen:

$x^2=a*x$       $x^2-a*x=0$        $x*(x-a)=0$         $x_1=0$    $x_2=a$

Differenzfunktion:

$d(x)=x^2-a*x$

$\frac{4}{3}= \int\limits_{0}^{a}(x^2-a*x)dx =...$

---

genau, ich komme auf a = 2