Berechnen Sie die Höhe des Deiches.

Question

Aufgabe: Für einen neu zu bauenden Deich wird überlegt, das Deichprofil mit der Funktion $$h(x)=15xe^{-5/4x}$$in der Einheit m zu modellieren.

Problem/Ansatz:

1. Berechnen Sie die Höhe des Deiches.

Da würde ich einfach den Hochpunkt ausrechnen oder?

2. Berechnen Sie an welcher Stelle der Deich am steilsten abfällt.

Da würde ich den Wendepunkt berechnen oder?

3. Das Profil wird an der rechten Seite bis zu der Stelle verwendet, an der es nur noch 5 cm von der Grundebene abweicht. Bestimmen Sie die Breite des Deichs

Was muss ich hier tun?

4.Auf einer Deichkrone soll ein 1.50m breiter Fahrradweg angelegt werden. Daher soll das Profil nicht komplett durch die Funktion f modelliert werden, sondern nur so hoch, bis sich der waagerechte Fahrradweg ergibt. Fertigen Sie eine Skizze an und bestimmen Sie die Funktion, die den so geplanten Deichquerschnitt beschreibt.

Kann mir jemand diese Skizze machen? Wie lautet die Funktion?

5. Berechnen Sie, wie viel Prozent Erde für den Deich in dieser Ausführung wweniger benötigt wird als in der ursprünglichen Variante.

Hier muss ich doch das Integral der ursprünglichen Funktion und der neuen Funktion berechnen oder? Wie sind meine Integralgrenzen?

6. Die Funktion f ist vomm Typ §§f(x)=12 p (x)e^(-p(x)), wobei p eine ganzrationale Funktion ist.

a) Geben Sie an, für welche Funktion p sich die obige Funktion ergibt.

Was muss ich hier tun?

b) Untersuchen Sie allgemein, ob der Grapf von f_p an allen Extremstellen von p zumindest eine waagerechte Tangente hat. Analysieren sie ob u ggf. welche anderen Stellen es geben kann, an denen der Graph von f_p waagerechte Tangenten hat.

Hier muss ich doch die erste Ableitung bilden und diese gleich null setzen oder?

Ich bin um jede Hilfe dankbar

Comments

Leider kann man bereits die erste Funktionsgleichung nicht lesen.

Bille stelle deine Fragen einzeln (1 Aufgabe4 pro Frage).

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Kann mir jemand genaueres zu 5. u 6. sagen? Ich verstehe die Hinweise hier nicht

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o. hat 1,5 mit 2,9 (gerundet) verwechselt.

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4.) Kann mir jemand diese Skizze machen? Wie lautet die Funktion?

Tipp: stelle die Funktion \(h_2(x)=h(x-1,5)\) (blau gestrichelt) auf und berechne den Schnittpunkt mit \(h(x)\)

Answer 1

3. Löse die Gleichung \(f(x) = 0,05\). Weil \(x\) sowohl im Exponenten als auch außerhalb des Exponenten auftritt und der Satz vom Nullprodukt nicht angewendet werden kann, musst du das mit dem Taschenrechner machen.

4. \(g(x) = \begin{cases}f(x)&\text{falls }f(x)< 1,5\\1,5&\text{sonst}\end{cases}\)

5. Integrationsgrenzen sind die Lösungen der Gleichung \(f(x) = 1,5\)

6.

    a) Es muss \(15x = 12p(x)\) sein.

    b) Ja.

Comments

Kann mir jemand die 6 ausführlich erklären? Ich komme da nicht weiter

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a) Forme die Gleichung

        \(15x = 12\cdot p(x)\)

so um, dass auf einer Seite \(p(x)\) alleine steht und auf der anderen Seite kein \(p(x)\) steht. Auf der anderen Seite steht dann der Funktionsterm der gesuchten Funktion \(p\).

b) Mit

        \(f_p(x)=12 p (x)\mathrm{e}^{-p(x)}\)

ist

        \(f'_p(x) = 12\cdot(p'(x) - p'(x)\cdot p(x))\mathrm{e}^{-p(x)}\)

wegen Produkt- und Kettenregel. Hat \(p\) bei \(x_0\) einen Hochpunkt, dann ist \(p'(x_0) = 0\), also

    \(\begin{aligned}f'_p(x_0) &= 12\cdot(p'(x_0) - p'(x_0)\cdot p(x_0))\mathrm{e}^{-p(x_0)}\\&= 12\cdot(0 - 0\cdot p(x_0))\mathrm{e}^{-p(x_0)}\\&=0\end{aligned}\)

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Also zu a)

Hallo oswald, danke für dein Lösungsweg!

Ich habe es so verstanden jetzt:

$$15x=12p(x)$$

$$p(x)= \frac{15x}{12}= \frac{5x}{4}$$

So? Wie komme ich überhaupt auf den Ansatz, dass gelten muss 15x=12p(x)?

Bei der b) brauche ich doch noch die zweite Ableitung oder? Um zu überprüfen ob Hoch oder Tiefpunkt. Oder reicht es zu sagen, dass hier eine waagerechte Tangente vorliegt?

Was ist mit "anderen Stellen, wo eine waagerechte Tangente sein kann" gemeint? Muss ich hier die Ränder überprüfen? Wenn ja, wie mache ich das? mit dem Limes? Könnte mir das jemand aufschreiben?

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Wie komme ich überhaupt auf den Ansatz, dass gelten muss 15x=12p(x)?

Man schaut sich an womit \(\mathrm{e}^{-\frac{5}{4}x}\) multipliziert wird und womit \(\mathrm{e}^{p(x)}\) multipliziert wird.

Untersuchen Sie allgemein, ob der Grapf von \(f_p\) an allen Extremstellen von \(p\) zumindest eine waagerechte Tangente hat.

Laut meiner Rechnung hat \(f_p\) überall dort eine waagerechte Tangente, wo \(p\) eine waagerechte Tangente hat.

Also hat \(f_p\) überall dort eine waagerechte Tangente, wo \(p\) eine Extremstelle oder eine Sattelstelle hat.

Insbesondere hat \(f_p\) dann überall dort eine waagerechte Tangente, wo \(p\) eine Extremstelle hat.

Was ist mit "anderen Stellen, wo eine waagerechte Tangente sein kann" gemeint?

Damit sind die Stellen gemeint, an denen \(p\) keine Extremstelle hat.