Wie stellt man diese Gleichung 0 = -ae^-ax + 4e^-4x nach x um?

Question

Aufgabe:

Wie stellt man diese Gleichung nach x um?

0 = -ae^-ax + 4e^-4x

Problem/Ansatz:

Ich habe als erstes -ae^-ax auf die andere Seite gebracht. Ab da komm ich aber nicht weiter.

Answer 1

Aloha :)

Klammere $e^{-ax}$ aus:$$0=-ae^{-ax}+4e^{-4x}=e^{-ax}\cdot\left(-a+4e^{-4x+ax}\right)$$Da $e^{-ax}>0$ für alle $x\in\mathbb R$ wird das Produkt nur zu Null, wenn die Klammer zu Null wird:$$-a+4e^{-4x+ax}=0\quad\big|+a$$$$4e^{-4x+ax}=a\quad\big|\div4$$$$e^{-4x+ax}=\frac a4$$Da die $e$-Funtion immer positiv ist, gibt es nur für $a>0$ Lösungen.

Diese finden wir durch Logarthmieren beider Seiten:$$-4x+ax=\ln\left(\frac a4\right)\quad\bigg|\text{\(x\) ausklammern}$$$$(-4+a)x=\ln\left(\frac a4\right)$$Für $a\ne4$ können wir beide Seiten durch $(-4+a)$ dividieren und erhalten eine Lösung:$$x=\frac{\ln\left(\frac a4\right)}{a-4}\quad;\quad a>0\;\land\;a\ne4$$

Für den Fall $a=4$ lautet die ursprüngliche Gleichung $0=0$ und ist für alle $x\in\mathbb R$ erfüllt.

Comments

Alles klar. Vielen Dank!

Answer 2

Dann multiplizierst du mit e^x.

Comments

Wie macht man das dann?

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Dann siehst du, dass a=4 gelten muss, damit die Gleichu8ng überhaupt erfüllbar ist. Dann allerdings ist sie für alle x des Definitionsbereiches erfüllt.

Answer 3

4e^(-4x) = a^e^(-ax)

Koeffizientenvergleich:

a= 4