Begründung zu Beschränktheit

Question

Aufgabe Entscheiden Sie, ob die folgenden Funktionen $f, g, h, u$ nach unten beschränkt, nach oben beschränkt oder beschränkt sind. Begründen Sie Ihre Antworten.
(i) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$,
(ii) $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{x^{4}}{1+x^{2}}$,
(iii) $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, h(x)=\exp \left(-x^{2}\right)$,
(Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass $\exp (x)>1$ für $x>0$ gilt.)
(iv) $u: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, u(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\exp \left(-x^{2}\right)$.

Comments

Begründung und Entscheidung die

Ja Titel die.

Answer 1

Aloha :)

zu i) $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

Zähler und Nenner sind stets positiv, daher ist $f(x)>0$. Weiter gilt:$$x^2\ge0\stackrel{(+1)}{\implies}1+x^2\ge1\stackrel{(\text{Kehrwerte})}{\implies}\frac{1}{1+x^2}\le1$$Daher ist $f(x)\in(0;1]$ beschränkt (nach oben und unten).

zu ii) $g(x)=\frac{x^4}{1+x^2}$

Der Zähler ist $\ge0$, der Nenner ist $\ge1$. Daher ist $g(x)\ge0$. Weiter gilt:$$\frac{x^4}{1+x^2}>\frac{x^4-1}{1+x^2}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{1+x^2}=x^2-1\to\infty$$Daher ist $g(x)\in[0;\infty)$ nur nach unten beschränkt.

zu iii) $h(x)=e^{-x^2}$

Die Exponentialfunktion ist stets positiv, daher ist $h(x)>0$.

Ferner folgt aus der Bernoulli-Ungleichung:$$e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n\ge\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+n\cdot\frac xn\right)=\lim\limits_{n\to\infty}(1+x)=1+x$$Daraus folgt nun:$$e^{x^2}\ge1+x^2\stackrel{(\text{Kehrwerte})}{\implies}\frac{1}{e^{x^2}}\le\frac{1}{1+x^2}\implies e^{-x^2}\le\frac{1}{1+x^2}\le1$$Daher ist $h(x)\in(0;1]$ beschränkt (nach oben und unten).

zu iv) $u(x)=\frac{1}{1+x^2}+e^{-x^2}$

Auf Grund der vorigen Überlegungen ist klar, dass$$u(x)=\underbrace{\frac{1}{1+x^2}}_{\in(0;1]}+\underbrace{\frac{1}{e^{x^2}}}_{\in(0;1]}\in(0;2]$$Das Maximum ist $u(0)=2$ und das Infimum ist $0$, weil für $x\to\pm\infty$ beide Summanden gegen $0$ konvergieren.

Die Funktion $u(x)\in(0;2]$ ist also beschränkt (nach oben und unten).

Answer 2

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$

f(x) hat keine Nullstelle

 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$

$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$

$f(0)=\frac{1}{1+0^{2}}=1$

$f´(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^{2}}$

An der Stelle $x=0$ ist ein Maximum: Somit existiert kein $f(x)>1$

{y ∈ ℝ: 0<y≤1}

Comments

$x=0$ ist ein Maximum:

Das ist falsch. 1 ist ein Maximum.

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II)

mit L'Hospital (mehrfach):

4x³/2x -> 12x²/1 -> lim = +oo für x -> +-oo