Vektoraum Geraden Algebra

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben Seien die Geraden
$\left.\left.G_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: \nu_{1} x_{1}+\nu_{2} x_{2}=\nu_{0}\right)\right\}, \quad G_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: \mu_{1} x_{1}+\mu_{2} x_{2}=\mu_{0}\right)\right\},$
wobei $\nu_{0}, \nu_{1}, \nu_{2}$ und $\mu_{2}, \mu_{1}, \mu_{2}$ reelle Zahlen sind mit $\left(\nu_{1}, \nu_{2}\right) \neq(0,0)$ und $\left(\mu_{1}, \mu_{2}\right) \neq(0,0)$. Zeigen Sie
(a) Ist $D:=\nu_{1} \mu_{2}-\nu_{2} \mu_{1} \neq 0$, so gibt es genau einen Schnittpunkt der Geraden $G_{1}$ und $G_{2}$.
(b) Ist $D=0$ und $\mu_{2} \nu_{0}-\nu_{2} \mu_{0} \neq 0$ oder $\nu_{1} \mu_{0}-\mu_{1} \nu_{0} \neq 0$ so haben die Geraden $G_{1}$ und $G_{2}$ keine Schnittpunkt.
(c) Ist $D=\mu_{2} \nu_{0}-\nu_{2} \mu_{0}=\nu_{1} \mu_{0}-\mu_{1} \nu_{0}=0$, so sind beide Geraden identisch.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist das ich keinen guten Ansatzt habe es in Mathesprache zu übersetzen

Answer 1

Hier ein Weg ohne "konkretes Auflösen" des Systems der Geradengleichungen:

Beachte zunächst:

$n_1 = \begin{pmatrix} \nu_1 \\ \nu_2 \end{pmatrix},\;n_2 = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}$ sind die Normalenvektoren zu den Geraden $G_1,\; G_2$.

Setze nun im weiteren

$$A= \begin{pmatrix} \nu_1 & \nu_2 \\ \mu_1 & \mu_2 \end{pmatrix},\; b=\begin{pmatrix} \nu_0 \\ \mu_0 \end{pmatrix},\; x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$$

Damit haben wir $\boxed{D = \det (A)}$.

(a):

$D \neq 0 \Rightarrow n_1, n_2$ sind linear unabhängig, d.h., nicht parallel und damit schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt. Oder anders ausgredrückt: Das LGS $Ax=b$ hat genau eine Lösung, da $A$ invertierbar ist.

(b)&(c):

$D=0 \Rightarrow n_1,\; n_2$ sind linear abhängig, d.h., es gibt ein $\lambda \neq 0$ mit $n_1 =\lambda n_2$. Geometrisch bedeutet dies, dass $n_1 \parallel n_2$, also $G_1 \parallel G_2$.

Jetzt muss man nur noch schauen, ob die beiden Geraden echt parallel sind (also keinen Schnitt haben) oder zusammenfallen (also identisch sind):

(b):

Es gibt keinen Schnitt, wenn das System $Ax=b$ keine Lösung hat. Das ist genau dann der Fall, wenn $b$ nicht im Bild von $A$ liegt, also $b$ linear unabhängig von den Spaltenvektoren von $A$ ist. Das heißt

$\det \begin{pmatrix} \nu_1 & \nu_0 \\ \mu_1 & \mu_0 \end{pmatrix}\neq 0$ und $\det\begin{pmatrix} \nu_0 & \nu_2 \\ \mu_0 & \mu_2 \end{pmatrix}\neq 0$

Hier gilt sogar "und" statt "oder" (wie in der Aufgabe), da $n_1,n_2\neq o$ und parallel sind.

(c):

Die Geraden sind identisch, wenn da System $Ax=b$ unendlich viele Lösungen hat. Das ist genau dann der Fall, wenn $b$ im Bild von $A$ liegt, also linear abhängig von den Spaltenvektoren von $A$ ist. Das heißt

$\det \begin{pmatrix} \nu_1 & \nu_0 \\ \mu_1 & \mu_0 \end{pmatrix}= 0$ und $\det\begin{pmatrix} \nu_0 & \nu_2 \\ \mu_0 & \mu_2 \end{pmatrix}= 0$

Ich überlasse es dir nachzurechnen, dass die Determinanten gleich den in den Aufgaben gegebenen Ausdrücken sind.

Answer 2

Wie löst du denn das lineare Gleichungssystem nach x1 und x2 auf?

Benutze eines der Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Du solltest 3 Verfahren kennen.

Answer 3

Um einen Schnittpunkt zu berechnen setzt man in der Mathesprache die Geraden gleich, bzw.:

G₁ - G₂ = 0 ===>

$v_1 \; x + v_2 \; y - \mu_1 \; x - \mu_2 \; y = v_0 - \mu_0$ ===>

y ∧ y ∈ G₁ ===> x ===>

$\displaystyle \left(x,y\right) = \left(\frac{v_0 \; \mu_2 - v_2 \; \mu_0}{v_1 \; \mu_2 - v_2 \; \mu_1}, \frac{-v_0 \; \mu_1 + v_1 \; \mu_0}{v_1 \; \mu_2 - v_2 \; \mu_1} \right)$