Beweisen Sie, dass für beliebige x, a ∈ ℝ mit x ≠ 0 folgende Aussage gilt

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für beliebige x, a ∈ ℝ mit x ≠ 0 folgende Aussage gilt:

x(x − 2a²) > 0 ⇔ |x − a²| > a²

Ich stehe leider auf dem Schlauch, wie führe ich am besten den Beweis durch?

Answer 1

Quadratische Ergänzung:

$x(x-2a^2)= x^2-2xa^2> 0$

$\Leftrightarrow (x-a^2)^2-a^4 > 0$

$\Leftrightarrow (x-a^2)^2 > a^4$

$\Leftrightarrow |x-a^2| > a^2$

Answer 2

Hallo

x(x − 2a²) > 0 folgt x>0 und (x-2a²)>0 folgt x-a²>a²

oder x<0 und x-2a²<0   folgt x-a²<a²  usw

entsprechend zwischen x-a²>0 und x-a²<0 unterscheiden

lul

Answer 3

Aloha :)

Hinrichtung "$\implies$"

Wir gehen von der linken Seite aus und zeigen die Gültigkeit der rechten Seite.

Wegen $x\cdot(x-2a^2)>0$ müssen beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben.

1. Fall: Beide Faktoren sind positiv$$x>0\;\land\;x>2a^2\stackrel{(2a^2\ge0)}{\implies} x>2a^2\implies x-a^2>a^2\implies|x-a^2|>a^2$$2. Fall: Beide Faktoren sind negativ$$x<0\;\land\;x<2a^2\stackrel{(0\le2a^2)}{\implies} x<0\implies x-a^2<-a^2\implies-(x-a^2)>a^2$$$$\phantom{x<0\;\land\;x<2a^2}\,\implies|x-a^2|>a^2$$

Rückrichtung "$\Longleftarrow$"

Wir gehen von der rechten Seite aus und zeigen die Gültigkeit der linken Seite.

$$|x-a^2|>a^2\implies x-a^2>a^2\;\lor\;x-a^2<-a^2\implies \red{x>2a^2}\;\lor\;\green{x<0}$$

Im roten Fall ist wegen $2a^2\ge0$ auch $x>0$, sodass $x\cdot(x-2a^2)>0$ ist.

Im grünen Fall ist $x<0$ und damit auch $x-2a^2<0$, sodass $x\cdot(x-2a^2)>0$ ist.

Comments

Tschakabumba, ein sehr schöner Beweis.