Kommutative Gruppe, Untergruppe Relation G Beweis

Question

Seien (G,+) eine kommutative Gruppe, H eine Untergruppe von G und ~ dei Relation auf G, welche durch die Festlegung

a ~ b genau dann, wenn a - b ∈ H

für alle a,b ∈ G definiert ist. Zeigen sie, dass ~ eine Äquivalenzrealtion auf G ist. Verwenden Sie die bekannte Tatsache, dass 0 ∈ H gilt, für die Reflexitivität von ~. SIe müssen ebenfalls die Symmetrie von ~ zeigen.

Answer 1

Vorab: Zu einem Element \(a \in G\) ist \(-a \in G\) das Inverse bzgl. \(+\), welches zu jedem Element existieren muss, da \(G\) eine Gruppe ist und \(a-b = a + (-b)\).

1. Reflexivität:
Sei \(a \in G\) beliebig. \(a - a = a + (-a) = 0 \in H\). \(-a\) existiert, da \(G\) Gruppe und \(0 \in H\) da \(H\) Untergruppe von \(G\).

2. Symmetrie:
Seien \(a, b \in G\) beliebig und \(a \sim b\). D.h. \(a - b =: c \in H\). Es ist auch \(b - a = -c \in H\), da \(H\) Untergruppe von \(G\) ist, also gilt, dass zu jedem \(c \in H\) auch \(-c \in H\) ist. Damit ist also \(b \sim a\).

3. Transitivität:
Sei \(a \sim b\) und \(b \sim c\), also \(a-b \in H\) und \(b-c \in H\). Da \(H\) Untergruppe von \(G\) ist, ist auch \((a-b) + (b-c) = a + (-b) + b + (-c) = a + -(c) = a-c \in H\), also \(a \sim c\).