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Aufgabe:

Zeige mit dem Epsilonkriterium für Folgenkonvergenz folgende Aussage

an=2n5n+1a_n= \frac{2n}{5n+1} konvergiert gegen 25\frac{2}{5}

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Hallo

gib ein N(ε) an , so dass 2n5n+125<ϵ |{\frac{2n}{5n+1} -\frac{2}{5}}|< \epsilon für alle n>N

dabei muss N nicht genau sein sondern nur ein N das auch zu groß sein kann.

man kann so ein N einfach ausrechnen

Gruß lul

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Okay, also gesucht ist dieses N. Wie genau berechne ich das denn?

Hallo

indem du die aufgeschriebene Ungleichung für n=N löst so dass du am Ende N> ... stehen hast.

du kannst den Absolutbetrag weglassen, wenn du immer das kleinere vom größeren abziehst.

lul

Ich verstehe das nicht

du formst die Ungleichung

2N/(5N+1)5/2<ϵ2N/(5N+1)-5/2 < \epsilon

nach NN um

Ah okay, danke dann weiß ich was zu tun ist.


Und dieses N ist dann meine Grenze?

Hallo

2/5-2n/(5n+1)<ε linke Seit auf Hauptnenner  bringen, dann nach n>... auflösen

dann etwa 25n+5 durch 26n ersetzen für n>5 und du has n>.. und n>5

lul

Hallo

nein diese N sagt, dass es zu jedem ε ein N gibt so dass..... sieh e die Def für Konvergenz nach, Damit hättest du anfangen sollen!

lul

2N5N+125<ϵ\frac{2N}{5N+1}- \frac{2}{5} < \epsilon

2N52(5N+1)5(5N+1)<ϵ\frac{2N5-2(5N+1)}{5(5N+1)} < \epsilon

10N10N225N+5<ϵ\frac{10N-10N-2}{25N+5} < \epsilon

226N<ϵ\frac{-2}{26N} < \epsilon

1N>13ϵ\frac{1}{N} > -13 \epsilon


Das stimmt doch nicht was ich da mache


Was mache ich falsch?

Hallo

deine Fehler:

a)nicht den Betrag genommen oder das kleinere abgezogen

b) nicht nach N aufgelöst

Gruß lul

Also wird aus dem Minus ein Plus wenn ich den Betrag weglasse?

Soll das wirklich ne Frage sein so wie ist |-2|=2?

ich hatte aufgeschrieben wie du rechnen solltest, warum ignorierst du so was?

lul

Nein, dass der Betrag von |-2|=2 ist weiß ich.

Ich ignoriere die Hinweise nicht, ich kann sie nicht umsetzen.

ich schrieb "2/5-2n/(5n+1)<ε daraus N > bestimmen, was kann daran schwer sein umzusetzen?

lul

ou, ich habe die Reihenfolge nicht beachtet.

Wenn ich das jetzt so mache bekomme ich aber immer noch 1/13N < epsilon raus.

Und das kannst du  wirklich nicht auflösen zu N>...?

lul

N> 13/epsilon würde da bei mir raus kommen


Aber das stimmt doch nicht, es muss doch N>5 rauskommen wenn ich das richtig verstanden habe

Hallo

1, es kommt N>1/(13ε) raus, und da wir N>5 vorher hatten also Max(1/(13ε),5)

oder in Worten mindestens 5, sonst 1/(13ε)

(meist will man ja kleine ε)

lul

Okay. Dann bin ich ja nah an dem Ergebnis dran. Jetzt frage ich mich nur wie ich auf das 1/13 epsilon komme


ist 1/N < epsilon/13 denn noch richtig oder ist das auch schon falsch?



Ich habe meinen Fehler gefunden!! Danke lul für deine Ausdauer und deine Hilfe!

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