Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, a, b ∈ K, b 6= 0, n ∈ N, char(K) - n + 1
und (siehe A1.5)
A :=


a b . . . b
b a . . . b
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b b . . . a


∈ Matn+1(K).
(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A.

Problem/Ansatz:

Es gilt Det(A)= (a + n · b) · (a − b)^n. D.h. det(A-λI)=((a-λ)*n*b)*((a-λ)-b)^n. Damit ist das charakteristisch Polynom ((a-λ)*n*b)*((a-λ)-b)^n. Ist das richtig so?

Comments

Hallo

der Anfang deines Posts ist nicht lesbar (für mich) wenn es nur um das ch. P. der skizzierten Matrix geht, hast du nur einen Tippfehler * statt + in der Formel

Gruß lul

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Danke fürs Feedback. ja stimmt da hab ich mich vertippt. Nach b und char soll ein ungleich stehen. Hab noch mal ne Frage: (b) Geben Sie die Eigenwerte, deren algebraische und geometrische Vielfachheiten
und Basen der zugehörigen Eigenräume an. (ohne Nachweis)

Mein Ansatz: ((a-λ)+n*b)*((a-λ)-b)n=0 (hat n+1 nullstellen)

<=>λ1=a+nb alg.Vielfachheit=1 und λ2=a-b alb.Vielfachheit=n

Aber was sind jetzt die Eigenräume zu den Eigenwerten?

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Ein Eigenvektor zum Eigenwert λ₁ = a + nb ist offenbar v₁ = (1,...,1)^T, der Vektor der Länge n+1, dessen Komponenten alle gleich 1 sind.