Charakteristische Polynom - Beweis

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ein endlich-erzeugter K-Vektorraum mit Unterraum W und f ∈ EndK(V ).

(i) W ist f-invariant.
(ii) g: V/W → V/W, v + W → f(v) + W ist wohldefiniert

Es gelten nun (i) und (ii) aus (a). Beweisen Sie, dass dann χf = χf|W · χg.

Problem/Ansatz:

Ich hab keine Ahnung wie man das machen soll

Answer 1

Eigentlich brauchst du lediglich die folgende Eigenschaft von Blockmatrizen:
\(   \det \left( \begin{bmatrix}       \mathbf{A} & \mathbf{B}       \\       0 & \mathbf{C}   \end{bmatrix} \right)   = \det( \mathbf{A}) \det( \mathbf{C}) .\)

Nun also zu der Aufgabe: Sei \(\dim\left( W\right)=n\) und \( \dim\left( V\right)= n + m\) und \( \{\mathbf{w}_{ 1} , \ldots , \mathbf{w}_{ n} \} \) eine geordnete Basis von \( W\). Ergänze diese zu einer geordneten Basis \( \{ \mathbf{w}_{ 1} , \ldots , \mathbf{w}_{ n} , \mathbf{v}_{ 1}  , \ldots , \mathbf{v}_{ m} \}\) von \( V\). Wenn du dir jetzt die Abbildungsmatrix von \( f\) bezüglich dieser Basis anschaust, dann hat die eben genau eine solche Blockmatrixgestalt, wie ich sie oben beschrieben habe.

\( \mathbf{A}\) ist hier eine \( n\times n\), \( \mathbf{B}\) eine \( n \times m\) und \( \mathbf{C}\) eine \( m\times m\) Matrix. Weiterhin ist \( \mathbf{A}\) genau die Abbildungsmatrix, welche \(\left. f\right|_{ W} \) in der obigen Basis entspricht, und \( \mathbf{C}\) jene Abbildungsmatrix, welche \( g\) (bezüglich der geordneten Basis \( \{ \mathbf{v}_{ 1}  + W, \ldots , \mathbf{v}_{ m} +W\}\) von \( V /{ W} \)) entspricht. Dann folgt die Aussage aus der oben genannten Eigenschaft von Blockmatrizen.

Du musst jetzt natürlich noch die Aussagen beweisen, die ich im vorletzen Satz getroffen habe.