Aloha :)
Die z-Koordinate lasse ich weg, weil sie stets null ist, sodass sich die beschriebene Situation allein in der xy-Ebene abspielt.
$$\vec f(x;y)=\binom{y+2x}{3x-2y}\quad;\quad\vec r_1(t)=\binom{t}{t}\quad;\quad\vec r_2(t)=\binom{t}{t^2}\quad;\quad t\in[0;1]$$
$$I_1=\int\limits_{(0;0)}^{(1;1)}\vec f(x;y)\,d\vec r_1=\int\limits_0^1\vec f(x(t);y(t))\,\frac{d\vec r_1}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\binom{t+2t}{3t-2t}\binom{1}{1}\,dt$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_0^1\binom{3t}{t}\binom{1}{1}\,dt=\int\limits_0^14t\,dt=\left[2t^2\right]_0^1=2$$
$$I_2=\int\limits_{(0;0)}^{(1;1)}\vec f(x;y)\,d\vec r_2=\int\limits_0^1\vec f(x(t);y(t))\,\frac{d\vec r_2}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\binom{t^2+2t}{3t-2t^2}\binom{1}{2t}\,dt$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_0^1(2t+7t^2-4t^3)\,dt=\left[t^2+\frac73t^3-t^4\right]_0^1=\frac73$$
