nn/2n >= n! für n >= 6

Question

Aufgabe:

Aufgabe: Beweise, dass $\frac{n^{n}}{2^{n}} \geq n!$  für alle n $\geq$ 6 gilt. Problem/Ansatz: Ich habe Induktion probiert, komme aber zu keinem Ergebnis.

Problem/Ansatz:

Ich habe Induktion probiert aber habe versagt.

Comments

Hallo
versuch es mit (n/2)ⁿ/n!>1
lul

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Ohne groß drüber nachzudenken(ob das hilfreich ist) , würde mir einfallen: Induktion und dann bei (n+1)ⁿ *(n+1)/ 2ⁿ Binomischen Lehrsatz for (n+1)ⁿ zu nutzen :)

Answer 1

Induktionsschritt etwa so:

$\frac{(n+1)^{(n+1)}}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)^n \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2}$

binomische Formel im Zähler

$= \frac{(n^n +n \cdot n^{n-1}\cdot 1+\dots) \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2}$

$= \frac{(2n^n +\dots) \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2}$

$= \frac{2n^n}{2^{n}} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n^n}{2^{n}} \cdot (n+1)$

Ind. vor.

$\le n! \cdot (n+1) = (n+1)!$