0 Daumen
303 Aufrufe

Aufgabe:

Aufgabe: Beweise, dass nn2nn! \frac{n^{n}}{2^{n}} \geq n!   für alle n \geq 6 gilt. Problem/Ansatz: Ich habe Induktion probiert, komme aber zu keinem Ergebnis.


Problem/Ansatz:

Ich habe Induktion probiert aber habe versagt.

Avatar von

Hallo
versuch es mit (n/2)n/n!>1
lul

Ohne groß drüber nachzudenken(ob das hilfreich ist) , würde mir einfallen: Induktion und dann bei (n+1)n *(n+1)/ 2n Binomischen Lehrsatz for (n+1)n zu nutzen :)

1 Antwort

0 Daumen

Induktionsschritt etwa so:

(n+1)(n+1)2n+1=(n+1)n(n+1)2n2 \frac{(n+1)^{(n+1)}}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)^n \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2}

binomische Formel im Zähler

=(nn+nnn11+)(n+1)2n2 = \frac{(n^n +n \cdot n^{n-1}\cdot 1+\dots) \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2}

=(2nn+)(n+1)2n2 = \frac{(2n^n +\dots) \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2}

=2nn2nn+12=nn2n(n+1) = \frac{2n^n}{2^{n}} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n^n}{2^{n}} \cdot (n+1)

Ind. vor.

n!(n+1)=(n+1)! \le n! \cdot (n+1) = (n+1)!

Avatar von 289 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage