Aufgabe:
Aufgabe: Beweise, dass nn2n≥n! \frac{n^{n}}{2^{n}} \geq n! 2nnn≥n! für alle n ≥\geq≥ 6 gilt. Problem/Ansatz: Ich habe Induktion probiert, komme aber zu keinem Ergebnis.
Problem/Ansatz:
Ich habe Induktion probiert aber habe versagt.
Halloversuch es mit (n/2)n/n!>1 lul
Ohne groß drüber nachzudenken(ob das hilfreich ist) , würde mir einfallen: Induktion und dann bei (n+1)n *(n+1)/ 2n Binomischen Lehrsatz for (n+1)n zu nutzen :)
Induktionsschritt etwa so:
(n+1)(n+1)2n+1=(n+1)n⋅(n+1)2n⋅2 \frac{(n+1)^{(n+1)}}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)^n \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2} 2n+1(n+1)(n+1)=2n⋅2(n+1)n⋅(n+1)
binomische Formel im Zähler
=(nn+n⋅nn−1⋅1+… )⋅(n+1)2n⋅2 = \frac{(n^n +n \cdot n^{n-1}\cdot 1+\dots) \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2} =2n⋅2(nn+n⋅nn−1⋅1+…)⋅(n+1)
=(2nn+… )⋅(n+1)2n⋅2 = \frac{(2n^n +\dots) \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2} =2n⋅2(2nn+…)⋅(n+1)
=2nn2n⋅n+12=nn2n⋅(n+1) = \frac{2n^n}{2^{n}} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n^n}{2^{n}} \cdot (n+1) =2n2nn⋅2n+1=2nnn⋅(n+1)
Ind. vor.
≤n!⋅(n+1)=(n+1)! \le n! \cdot (n+1) = (n+1)!≤n!⋅(n+1)=(n+1)!
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