Teilbarkeit: 6 | 3^n - 3

Question

Aufgabe: 

\(  6 | 3^n - 3  \)   mit n ≥ 1

Meine Lösung:

\(  6 | 3^n - 3  \)

=  \(  3^{n+1} - 3  \)

=  \(  3 * 3^{n} - 3  \)

Die Induktionsannahme ist hier gezeigt, als vielfaches von 3, welches ein Teiler von 6 ist. Somit ist die Teilbarkeit doch ausreichend gezeigt oder?

(Die Musterlösung sieht etwas anders aus.)

Comments

Du schreibst "Meine Lösung" und dann kommt konfuses Zeug -- erst in Formeln, dann in Worten. Wo soll sich hier eine Lösung verbergen? Was ist die Induktionsvoraussetzung und wo wird die im Induktionsschluss investiert, damit er klappt? Wo ist der Induktionsschluss ueberhaupt? Das wirst Du schon ausformulieren muessen, wenn Du eine eigene Lösung praesentieren willst.

Answer 1

Dem Kommentar von Fakename schließe ich mich an. Die Antwort von habakuk etc.Ist richtig aber viel zu lang.

3ⁿ-3=3·(3^n-1-1). Der Faktor (3^n-1-1)  ist mit Sicherheit gerade, weil jede um 1 verminderte Potenz von 3 gerade ist.

Damit ist 3ⁿ-3 sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar und folglich durch 6 teilbar.

Answer 2

  Schon intressant, wie leicht Studenten bereit sind, Induktion zu bemühen. Eine Zahl ist teilbar durch 6 <===>  sie ist teilbar durch 3 ( in deinem Fall trivial erfüllt ) ; und sie ist gerade.

      Hier hilft ganz klar faktorisieren

          m  :=  3  ^  n  -  3  =  3  [  3  ^  (  n  -  1  )  -  1  ]        (  1  )

        Wenn ich zeigen kann, dass die eckige Klammer gerade ist, d.h. kongruent Null mod 2 , bin ich fertig.  Durch Dreierpotenzen kann ich nie den Primfaktor 2 generieren; demnach gilt

                 3  ^  (  n  -  1  )  =  1  mod  2      (  2  )

    und die Behauptung, dass die Klammer gerade ist, ist bewiesen. ( Wäre doch ein typischer Beweis für die Leute, die immer darauf herum reiten, dass die 2 prim ist. )

    Hier gab es mal ein Portal über matematische Witze.  Nur zwei Vorschläge fand ich wirklich gut

   1) Den Beweis, dass die e-Funktion identisch gleich konstant ist. Aber der absolute Brüller

   2) den Beweis, dass alle natürlichen Zahlen gleich sind.

    Das genau ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Zahlenteorie. Wie sich das gehört, wird ein so bedeutendes Teorem durch ein Lemma bewiesen. Das Habakuklemma besagt

    Für jedes n gilt

             i  <  =  n  ;  j  <  =  n  ===>  i  =  j         (  3  )

    Und wie üblich wird dieses Lemma induktiv bewiesen.

         INDUKTIONSANFANG     n = 1  ( trivial )

    =======================

      INDUKTIONSANNAHME    (  siehe  ( 3 ) )

    ===================================

      INDUKTIONSSCHRITT

    =======================

      Sei also

            i  <  =  n  +  1       |     -  1     (  4a  )

            j  <  =  n  +  1       |     -  1     (  4b  )

     Die Umformungsschritte wurden wie üblich vermerkt;  ich führe noch die Abkürzungen ein

        i  '  :=  i  -  1   ;  j  '  :=  j  -  1       (  4c  )

       Dann lauten ( 4ab )

          i  '  <  =  n      (  5a  )

         j  '  <  =  n      (  5b  )

    Die Induktionsannahme ist anwendbar

          i  '  =  j  '     |   +  1    (  5c  )

         i  =  j       (  5d  )     wzbw

     Habichdochgesagthabichdochgesagthabichdochgesagt ...

    Frag doch mal deinen Lehrer oder Professor ...