Anwendung des Sandwich-Lemmas

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Sandwich-Lemmas, dass

\( a_{n}:=\frac{1}{3^{n}-2^{n}}, \quad n \in \mathbb{N} \)

gegen 0 konvergiert.

Guten Tag, bin mir recht unsicher mit der obigen Aufgabe.

Wie das Sandwich-Lemma funktioniert ist mir bewusst, ich suche zwei Folgen mit dem Grenzwert 0, welche an einschließen.

Als untere Grenze wähle ich die Konstante Nullfolge da offensichtlich an > 0.

Bin mir allerdings bei der oberen Grenze unsicher. Könnte ich theoretisch einfach eine beliebige Folge nehmen, die größer ist als an mit dem selben Grenzwert?

Bin für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Hallo :-)

Könnte ich theoretisch einfach eine beliebige Folge nehmen, die größer ist als an mit dem selben Grenzwert?

Ja und da reicht es auch, dass diese Folge erst ab einem gewissen Index stets mindestens so große Werte annimmt wie dein \(a_n\). Die könnte so aussehen:

Induktiv kann man für alle \(n\in \N_{\geq 3}\) die Abschätzung \(3^n\geq 3\cdot 2^n\) zeigen. Damit erhält man für alle \(n\in \N_{\geq 3}\)

$$ 3^n\geq 3\cdot 2^n \Longrightarrow 3^n-2^n\geq 3\cdot 2^n-2^n=2\cdot 2^n=2^n+2^n\geq 2^n=(1+1)^n\stackrel{Bernoullie}{\geq}1+n\geq n\\ \Longrightarrow \frac{1}{n}\geq \frac{1}{3^n-2^n}$$

Wähle also als obere Abschätzung zb die Folge \(b_n=\frac{1}{n}\).