Maßraum und messbare Funktionen

Question

Aufgabe 1a) Sei $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ ein Maßraum und $f_{n}: \Omega \rightarrow[0, \infty]$ messbare Funktionen.

Zeigen Sie, dass
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \int f_{n} \mathrm{~d} \mu=\int \sum \limits_{n=1}^{\infty} f_{n} \mathrm{~d} \mu \text {. }$
b) Berechnen Sie
$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{\infty} \cos (x / n)^{5} e^{-x} \mathrm{~d} x$

Ich brauche Hilfe bei b). Ich habe das Gefühl, dass ich den Satz von der monotonen Konvergenz verwenden muss, aber bin mir nicht ganz sicher, weil die Integrationsvariable x ist.

Answer 1

Hallo,

setze $f_n: [0,\infty) \to \mathbb{R}, x \mapsto \cos(x/n)^5 \cdot e^{-x}, n\in\mathbb{N}$

Dann gilt $f_n(x) \to e^{-x}$  und $|f_n(x)| \leq e^{-x}$ für alle $x\in [0,\infty)$ und $\int_0^{\infty}e^{-x}\, dx = 1 < \infty$

Aus dem Satz von Lebesgue folgt dann

$\lim_{n\to \infty} \int_0^{\infty}f_n(x)\, dx = \int_0^{\infty}e^{-x}\, dx = 1$