Aloha :)
Hier liegen zwei Standard-Integrale vor:
Das erste Integral ist vom Typ: \(\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C\)
Das zweite ist vom Arcus-Tangens-Typ: \(\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C\)
Daher können wir die Stammfunktionen schnell angeben:
$$I_1=\int\limits_e^\infty\frac{1}{x\ln x}\,dx=\int\limits_e^\infty\frac{\frac 1x}{\ln x}\,dx=\left[\;\ln|\ln(x)|\;\right]_e^\infty\to\infty$$
Für die untere Grenze erhalten wir den Wert \(0\), aber für die obere Grenze konvergiert die Stammfunktion gegen \(\infty\), sodass das uneigentliche Integral nicht existiert.
$$I_2=\int\limits_0^\infty\frac{x}{x^4+1}\,dx=\frac12\int\limits_0^\infty\frac{1}{1+x^4}\,2x\,dx=\frac12\int\limits_0^\infty\frac{1}{1+(x^2)^2}\,d(x^2)=\left[\frac12\arctan(x^2)\right]_0^\infty$$Wenn du diese Form des Integrierens nicht kennst, kannst du auch \(u=x^2\) substituieren und solltest dann zum gleichen Ergebnis kommen.
Entscheidend ist, dass \(\tan(\frac\pi2)\to\infty\), sodass \(\arctan(\infty)=\frac\pi2\) gesetzt werden kann:$$I_2=\frac12\arctan(\infty)-\frac12\arctan(0)=\frac\pi4$$
