Gradient/Skalarprodukt/Kurve

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo, ich verstehe die Aufgabe nicht ganz. Bedeutet der gelb markierte Ausdruck nicht schon automatisch, dass der gradient null wird? Ich komme irgendwie nicht weiter. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar:)

Text erkannt:

Sei $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei $\epsilon>0$ und $\gamma:(-\epsilon, \epsilon) \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ eine stetig differenzierbare Kurve, für die gilt $f \circ \gamma(t)=0$ für alle $t \in(-\epsilon, \epsilon)$. Zeigen Sie, dass für das euklidische Skalarprodukt gilt $\operatorname{grad} f(\gamma(0)) \cdot \gamma^{\prime}(0)=0$.
(Geometrische Interpretation: $\gamma^{\prime}(0)=0$ steht orthogonal auf der Hyperfläche $f^{-1}(0)$ ).

Answer 1

Bedeutet der gelb markierte Ausdruck nicht schon automatisch, dass der gradient null wird?

Nein, das bedeutet nur, dass die Funktionswerte von f längs der Kurve 0 werden. Nimm als Beispiel f(x,y):=x^2+y^2-1. Dann ist $f^{-1}(0)$ der Einheitskreis. Der Gradient von f wird auf dem Kreis nicht 0, steht aber senkrecht auf der Kreislinie.

Die Aussage ist eine direkte Folge der Kettenregel.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

bedeutet eigentlich f • γ = f(γ)? Weil wenn f• γ = 0 ist, ist dann nicht f(γ(0)) auch gleich 0?

• soll das kartesische Produkt sein

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Es bedeutet

$$f \circ \gamma (t)=f(\gamma(t))$$

Also die Hintereinanderausführung (Verknüpfung) von 2 Funktionen:

$$t \mapsto \gamma(t) \mapsto f(\gamma(t))$$

ist dann nicht f(γ(0)) auch gleich 0?

Ja! Ja und? Dir ist klar, dass in der Behauptung nach $grad f(\gamma(0))$ gefragt ist?

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• soll das kartesische Produkt sei

Das bezweifele ich. Vielleicht eher das euklidische Skalarprodukt.

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Achso, dann ist f • γ(t) = 0 das Skalarprodukt, das war wohl der Punkt der mich verwirrt hat, weil ich eigentlich die Schreibweise <f,γ> gewohnt war, die normalerweise bis jetzt anscheinend auch mein Professor verwendet hat. Danke!

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Achso nein, es ist ja kein skalarprodukt, f ist ja reell.

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Der Gradient von f ist ein Vektor