Sei f : X → Y eine Abbildung

Question

Aufgabe:

Sei f : X → Y eine Abbildung und seien A, B ⊂ X und M, N ⊂ Y Teilmengen. Zeigen oder
widerlegen Sie:
a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)
b) f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)
c) f^-1(M ∪ N) = f^-1(M) ∪ f^-1(N)

d) f^-1(M ∩ N) = f^-1(M) ∩ f^-1(N)

Problem/Ansatz:

kann mir wer helfen?

Answer 1

a)

$$ Sei \quad y \in f(A \cup B) \quad also \quad exisitert \quad x \in A \cup B \quad mit \quad f(x)=y$$

$$\Leftrightarrow (x \in A \quad mit \quad f(x)=y) \lor (x \in B \quad mit \quad f(x)=y)$$

$$\Leftrightarrow (y \in f(A)) \lor (y \in f(B)) \Leftrightarrow y \in f(A) \cup f(B)$$

b)

$$Sei \quad A=\{1,3\}; B=\{-1,3\}; f(x)=x^2$$

$$ Dann \quad gilt \quad A \cap B =3 \quad also \quad f(A \cap B)=f(3)=9$$

$$Aber \quad f(A)=\{1,9\}\quad f(B)=\{1,9\} \quad also \quad f(A) \cap f(B)=\{1,9\}$$

$$Damit \quad ist \quad f(A \cap B) \neq f(A) \cap f(B)$$

Anmerkung: Ist f injektiv dann folgt die Gleicheit.

c)

$$ Sei \quad x \in f^{-1}(M \cup N) \quad also \quad existiert \quad y \in M \cup N \quad mit \quad f^{-1}(y)=x$$

$$\Leftrightarrow (y \in M \quad mit \quad f^{-1}(y)=x) \lor (y \in N \quad mit \quad f^{-1}(y)=x)$$

$$\Leftrightarrow (x \in f^{-1}(M)) \lor (x \in f^{-1}(N)) \Leftrightarrow x \in f^{-1}(M) \cup f^{-1}(N)$$

d)
$$ Sei \quad x \in f^{-1}(M \cap N) \quad also \quad existiert \quad y \in M \cap N \quad mit \quad f^{-1}(y)=x$$

$$\Leftrightarrow (y \in M \quad mit \quad f^{-1}(y)=x) \land (y \in N \quad mit \quad f^{-1}(y)=x)$$

$$\Leftrightarrow (x \in f^{-1}(M)) \land (x \in f^{-1}(N)) \Leftrightarrow x \in f^{-1}(M) \cap f^{-1}(N)$$


LG