Liegt der Mittelpunkt tatsächlich im Ursprung?

Question

Aufgabe:

Ersetzen Sie die x-Koordinate des Punktes A durch eine negative Zahl so, dass die Gerade
durch die Punkte A und D eine Tangente an den Kreis x^2 + y^2 = 25 ist.

Problem/Ansatz:

Gegeben ist das Trapez ABCD mit A(1|−4),B(13|−1),C(9|11) und D(5|10)

Ersetzen Sie die x-Koordinate des Punktes A durch eine negative Zahl so, dass die Gerade
durch die Punkte A und D eine Tangente an den Kreis x^2 + y^2 = 25 ist.

Ich gehe davon aus bzw. ich habe versucht zu polarisieren, allerdings bin ich mir nicht sicher was der Mittelpunkt ist.

Der 1. Schritt in der Lösung wär (x − 0)(5 − 0) + (y − 0)(10 − 0) = 5 ⇒ 5x + 10y = 25

Somit gehe ich davon aus, dass der Mittelpunkt 0/0 ist.

Meine Frage ist nun ob man bei einer solchen Aufgabe immer davon ausgehen kann, dass der Mittelpunkt im Ursprung (0/0) liegt.

Danke im Voraus für eine Antwort!

Answer 1

Wenn in der Kreisgleichung nur x^2 und y^2 vorkommen, dann ist es ein Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Etwas anderes ist es, wenn du zusätzlich noch x oder y in der ersten Potenz in der Gleichung stehen hast. Dann wäre der Ursprung nicht mehr der Mittelpunkt.

x^2 + y^2 = 25
(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2

Mx = 0 ; My = 0 ; M(0 | 0) ; r = 5

Comments

Okay das habe ich soweit verstanden.

In die Formel eingesetzt würde ich folgende Lösungen bekommen:

x1=−3, x2=5

x2 ist keine Lösung, da diese positiv ist. Weshalb ist es jedoch keine Lösung?

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Das sind zunächst mal die x-Koordinaten der Berührpunkte der Tangenten durch D an den Kreis. Jetzt heißt es weiter arbeiten und einen Punkt A'=(a|-4) auf einer dieser Tangenten zu finden, so dass a<0 ist.

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für x2 = 5 ergibt sich auch eine Tangente. Diese Lösung wurde aber explizit in der Aufgabe ausgeschlossen.

für x1 = -3 ergibt sich keine Tangente

Kleiner Tipp. Lass einfach Geogebra mitlaufen und visualisiere dir das Ganze.