Zeigen Sie, dass die Ergebnisse „X = O" und „X ≥ 4" gleich wahrscheinlich sind.

Question

Es wird mit zwei herkömmlichen Spielwürfein gewürfelt. Die Zufallsvariable X ist die
(nichtnegative) Differenz der beiden Äugenzahlen.
a) Welche Werte kann X annehmen?
b) Zeigen Sie, dass die Ergebnisse „X = O" und „X ≥ 4" gleich wahrscheinlich sind.

Problem/Ansatz:

Wie kommt man hier auf die Lösung?

Answer 1

Aloha :)

Der eine Würfe sei rot, der andere sei grün.

Dann gibt es folgende (absoluten) Differenzen:$$\begin{array}{r|rrrrrr} & \red1 & \red2 & \red3 & \red4 & \red5 & \red6\\\hline\green1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\green2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\green3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\\green4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2\\\green5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1\\\green6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0\end{array}$$

\(X\) kann offensichtlich die Werte \(\{0;1;2;3;4;5\}\) annehmen.

Durch Abzählen finden wir:$$P(X=0)=\frac{6}{36}=\frac16$$$$P(X\ge4)=P(X=4)+P(x=5)=\frac{4}{36}+\frac{2}{36}=\frac{6}{36}=\frac16$$

Tatsächlich gilt also \(P(X=0)=P(X\ge4)\).