Hallo,
ich weiß nicht was \(\operatorname{var}(f|_{[a,0]})\) sein soll!
Die Variation der auf [a, 0] eingeschränkten Funktion f.
Ok - wenn ich die Definition richtig verstehe, so ist \(\operatorname{var}(f|_{[a,0]})\) schlicht die Bogenlänge im angegebenen Intervall. Die Bogenlänge \(s\) berechnet sich so:$$\begin{aligned}f(t)&= \begin{pmatrix} e^{ct}\cos(t)\\e^{ct}\sin(t) \end{pmatrix}\\ f'(t)&= \begin{pmatrix} e^{ct}\left(c\cos(t) - \sin(t) \right)\\ e^{ct}\left(c\sin(t) + \cos(t)\right) \end{pmatrix}\\ s(a,b) &= \int\limits_{t=a}^{b}\|f'(t)\|\,\text{d}t \\ &= \int\limits_{t=a}^{b}\sqrt{\left( e^{ct}\left(c\cos(t) - \sin(t) \right)\right)^2 + \left( e^{ct}\left(c\sin(t) + \cos(t)\right)\right)^2}\,\text{d}t \\ &= \int\limits_{t=a}^{b}e^{ct}\sqrt{\left(c\cos(t) - \sin(t)\right)^2 + \left(c\sin(t) + \cos(t)\right)^2}\,\text{d}t \\ &= \int\limits_{t=a}^{b}e^{ct}\sqrt{c^2\cos^2(t) - 2\cos(t)\sin(t) + \sin^2(t) + c^2\sin^2(t) + 2\cos(t)\sin(t)+ \cos^2(t)}\,\text{d}t \\ &= \int\limits_{t=a}^{b}e^{ct}\sqrt{c^2\cos^2(t) + \sin^2(t) + c^2\sin^2(t) + \cos^2(t)}\,\text{d}t \\ &= \int\limits_{t=a}^{b}e^{ct}\sqrt{c^2\left(\cos^2(t) + \sin^2(t)\right) + \sin^2(t) + \cos^2(t)}\,\text{d}t \\ &= \int\limits_{t=a}^{b}e^{ct}\sqrt{c^2 + 1}\,\text{d}t \\ &= \sqrt{c^2 + 1}\int\limits_{t=a}^{b}e^{ct}\,\text{d}t \\ &= \sqrt{c^2 + 1} \left[\frac{1}{c}e^{ct}\right]_{a}^{b} \\ &= \frac{\sqrt{c^2 + 1}}{c}\left(e^{cb} - e^{ca}\right) \end{aligned}$$und dann gilt für den gesuchten Grenzwert; für \(c \gt 0\)$$\begin{aligned}\lim\limits_{a \to -\infty} \operatorname{var}(f|_{[a,0]}) &= \lim\limits_{a \to -\infty}s(a,0) = \lim\limits_{a \to -\infty}\frac{\sqrt{c^2 + 1}}{c}\left(1 - e^{ca}\right) \\ &= \frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\end{aligned}$$Mit \(c=1\) sieht das so aus:
und die Bogenlänge ist dann \(=\sqrt{2}\). Von der Anschauung spricht nichts dagegen.
Gruß Werner
