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Wie soll man folgende Gleichung mit der Eulerschen Formel beweisen?

$$\frac{1}{T}\int \limits_{0}^{T}cos(ωt)cos(ωt+Φ)dt=\frac{1}{2}cos(Φ)$$

Habe leider keine Idee, wie man da vorgehen soll.

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Aloha :)

Gemäß der Euler'schen Formel \(e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\) gilt:$$\cos\varphi=\frac{(\cos\varphi+i\sin\varphi)+(\cos\varphi-i\sin\varphi)}{2}=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}$$

Damit können wir das Integral bestimmen:$$I=\frac1T\int\limits_0^T\cos(\omega t)\cos(\omega t+\phi)\,dt=\frac1T\int\limits_0^T\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}\cdot\frac{e^{i(\omega t+\phi)}+e^{-i(\omega t+\phi)}}{2}\,dt$$$$\phantom I=\frac{1}{4T}\int\limits_0^T(e^{2i\omega t+i\phi}+\underbrace{e^{i\phi}+e^{-i\phi}}_{=2\cos\phi}+e^{-2i\omega t-i\phi})\,dt$$$$\phantom I=\frac{1}{4T}\left[\frac{e^{2i\omega t+i\phi}}{2i\omega}+2\cos\phi\cdot t+\frac{e^{-2i\omega t-i\phi}}{-2i\omega}\right]_{t=0}^T$$$$\phantom I=\frac{1}{4T}\left(\frac{e^{2i\omega T+i\phi}}{2i\omega}+2\cos\phi\cdot T-\frac{e^{-2i\omega T-i\phi}}{2i\omega}\right)-\frac{1}{4T}\left(\frac{e^{i\phi}}{2i\omega}+2\cos\phi\cdot 0-\frac{e^{-i\phi}}{2i\omega}\right)$$

Um jetzt zu dem erwarteten Ziel-Ausdruck zu vereinfachen, musst du die Definition der Winkelgeschwindigkeit \(\omega=\frac{2\pi}{T}\) verwenden. Dann ist nämlich$$\frac{e^{2i\omega T+i\phi}}{2i\omega}=\frac{e^{i4\pi+i\phi}}{2i\omega}=\frac{e^{i\phi}}{2i\omega}\quad\text{und}\quad\frac{e^{-2i\omega T-i\phi}}{2i\omega}=\frac{e^{-i4\pi-i\phi}}{2i\omega}=\frac{e^{-i\phi}}{2i\omega}$$sodass sich alle Exponentialfunktionen wegheben:$$\phantom I=\frac{1}{4T}\cdot2\cos\phi\cdot T=\frac12\cos\phi$$

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Danke dir für die schnelle Antwort!

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