Bestimmen Sie den Mittelpunkt x0 und den Konvergenzradius r und anschließend Berechnen des Konvergenzverhaltens.

Question

Aufgabe:

1. Gegeben ist die Potenzreihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}(x+8)^{k} \). Bestimmen Sie den Mittelpunkt x0 und den Konvergenzradius r.

2. Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Potenzreihe in den Randpunkten
x0 ± r des Konvergenzintervalls.

Problem/Ansatz:

1. Das Cauchy-Hadamard-Kriterium besagt, dass der Konvergenzradius r einer Potenzreihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k} \) durch die Formel \( r=\frac{1}{\limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}} \) gegeben ist.

In dem Fall \( a_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}} \) und \( x_{0}=-8 \). Berechnung des Grenzwert des Ausdrucks \( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \) :

\( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}=\limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|\frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}\right|} \)

\( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{a_{k}}=\limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}}=\limsup _{k \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}} \)

\( \sqrt[k]{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}=\sqrt[k]{\sqrt{2 k}} \cdot \sqrt[k]{6^{k}}=\sqrt[k]{\sqrt{2 k}} \cdot 6 \)

\( \lim \limits_{\sup _{k \rightarrow \infty}} \frac{1}{\sqrt[k]{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}}=\frac{1}{1 \cdot 6}=\frac{1}{6} \)

Somit ist der Konvergenzradius \( r \) der gegebenen Potenzreihe \( r=\frac{1}{\frac{1}{6}}=6 \). Der Mittelpunkt \( x_{0} \) bleibt unverändert bei \( x_{0}=-8 \).

2.

Mittelpunkt \( x_{0}=-8 \) und den Konvergenzradius \( r=6 \). Berechnung Randpunkte \( x_{1}=-8+6=-2 \) und \( x_{2}=-8-6=-14 \)

Randpunkt \( x_{1}=-2 \) :
Einsetzen \( x=-2 \) in die Potenzreihe ein:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}(-2+8)^{k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}} \cdot 6^{k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k}} \)

Da die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k}} \) eine \( \mathrm{p} \)-harmonische Reihe mit \( p=\frac{1}{2} \) ist, konvergiert sie gemäß dem p-harmonischen Konvergenzkriterium. Daher konvergiert die Potenzreihe im Punkt \( x_{1}=-2 \)

Randpunkt \( x_{2}=-14 \) :
Einsetzen \( x=-14 \) in die Potenzreihe ein:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}(-14+8)^{k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}} \cdot(-6)^{k} \)

In diesem Fall haben wir den alternierenden \( \operatorname{Term}(-6)^{k} \). Daher können wir das LeibnizKriterium für alternierende Reihen anwenden. Das Kriterium besagt, dass eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Beträge der Glieder monoton gegen Null konvergieren.

In unserem Fall konvergieren die Beträge der Glieder \( \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}} \) gegen Null für \( k \rightarrow \infty \). Daher konvergiert die Potenzreihe im Punkt \( x_{2}=-14 \).

Zusammenfassend konvergiert die Potenzreihe in den Randpunkten \( x_{1}=-2 \) und \( x_{2}= \) -14 des Konvergenzintervalls.

Ich wollte einfach wissen, ob ich den Konvergenzradius richtig gerechnet habe, weil ich echte Probleme hatte mit \( \sqrt[k]{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}}=\sqrt[k]{\sqrt{2 k}} \cdot \sqrt[k]{6^{k}}=\sqrt[k]{\sqrt{2 k}} \cdot 6 \).

Udn ich wollte, wissen ob ich je nach meinen angaben, den Konvergenzverhalte richtig berechnet habe.

Ich würde mir gerne wünschen, dass mir jemand helfen könnte und mir auch auch sagen könnte, wo ich fehler hab und wie ich die beheben könnte

Comments

Um auf

weil ich echte Probleme hatte..

einzugehen. Die Aussagen

$$\sqrt[k]{x} \to 1 \text{  für }x>0 \qquad \text{ und } \sqrt[k]{k} \to 1$$

sind zwei (unabhängige) Aussagen, die bewiesen werden müssen (auch wenn gerade die erste eine gewisse Plausibilität hat) - und vielleicht im Rahmen Eurer Lehre bewiesen worden sind.

Answer 1

Du schreibst:

Da die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 k}} \) eine \( \mathrm{p} \)-harmonische Reihe mit \( p=\frac{1}{2} \) ist, konvergiert sie gemäß dem p-harmonischen Konvergenzkriterium.

"p-harmonisch" kenne ich nicht, denke aber, dass für großes k gilt

\(  \sqrt{2k} \lt k  \)   also    \(  \frac{1}{\sqrt{2k}} \gt \frac{1}{k}   \)

Damit wäre die (normale) harmonische Reihe eine Minorante.

Also konvergiert deine Reihe nicht.

Für den Konvergenzradius gibt es ja auch noch das Quotientenkriterium

\(  \lim \limits_{n \to \infty}  |\frac{a_n}{a_{n+1}}|\) . Das gibt hier

\(  \lim \limits_{k \to \infty}  |\frac{\frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}} }{\frac{1}{\sqrt{2 (k+1)} \cdot 6^{k+1}} }|\)

\(  = \lim \limits_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} \cdot 6^{k}} \cdot \frac{\sqrt{2 k+2} \cdot 6^{k+1}}{1} = 6\cdot\lim \limits_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 k} } \cdot \frac{\sqrt{2 k+2} }{1} =6\cdot 1= 6 \)

also auch r=6.