Vollständige Induktion 5³+7³+....

Question

Aufgabe: Vollständige Induktion

5³+7³+....+(2n-1)³ = n² (2n²-1) -28 für n ≥ 3

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang:

Links: (2*3-1)³ = 125

Rechts: 3² (2*3²-1)-28 = 125…

Induktionsvoraussetzung lassen wir mal weg.

Induktionsschluss:

5³+7³+...+ (2n-1)³ + (2n+1)³ = (n+1)² (2*(n+1)²-1) -28 Stimmt das so ?

Linke Seite hätte ich dann: 2n⁴ + n³+ 2n² +3n -27

Die rechte Seite wird wie aufgelöst ? Ich komme nicht auf das gleiche Ergebnis

Dankeschön

Answer 1

Wie du auf deine linke Seite kommst, ist mir nicht klar.

Grundsätzlich willst du zeigen:
$$n^2(2n^2-1) + (2n+1)^3 - 28 = (n+1)^2(2(n+1)^2-1)-28$$

Es reicht also zu zeigen, dass

$$n^2(2n^2-1) + (2n+1)^3 = (n+1)^2(2(n+1)^2-1)$$

Entweder wirst du jetzt Ausklammerkünstler oder du multiplizierst beide Seiten aus und prüfst, ob sie gleich sind:

Linke Seite:

$$2n^4-n^2 + (8n^3+12n^2+6n+1) = \boxed{2n^4 +8n^3+11n^2+6n+1}$$

Rechte Seite:

$$2(n+1)^4 - (n+1)^2 = 2(n^4+4n^3+6n^2+4n+1)-(n^2+2n+1) = \boxed{2n^4 +8n^3+11n^2+6n+1}$$

Beide Seiten sind gleich also alles schick.

Comments

Fehler gefunden!

Ich sollte auch (2n+1)³ und nicht 2*(n+1)³ berechnen. Dann stimmt's.

Danke