k! ≥ 2^k-1, für alle k ≥ 1.

Question

Aufgabe:

a) beweise das k! ≥ 2^k-1, für alle k ≥ 1.

b) Zeige mithilfe von a) , dass die Folge (S_n)_n durch 3 begrenzt ist s_n:= \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}} \)

Answer 1

a) mit vollst. Induktion:

k=1   1! ≥ 2⁰ = 1  ist wahr.

k ==> k+1 etwa so:

(k+1)! = k! * (k+1)  mit Ind. annahme

  ≥  2^k-1 * (k+1)  und weil k≥1 ist k+1≥2, also

  ≥  2^k-1 * 2   = 2^k .  q.e.d.

b)

\( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}} = 1 + \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k!}} \)

wegen a)   k! ≥ 2^k-1  gilt für k≥1  \(  \frac{1}{k!} \le \frac{1}{2^{k-1}}  \)  also

\(  1 + \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k!}} \le 1 + \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{2^{k-1}}} =1+ \sum\limits_{k=1}^{n}{(\frac{1}{2})^{k-1}} \)

\(  =1+ \sum\limits_{k=0}^{n-1}{(\frac{1}{2})^{k}} \)

mit der Formel für die geometrische Reihe gibt das

\(  =1+   \frac{(\frac{1}{2})^{n}-1} {\frac{1}{2} - 1} =1+  \frac{1-(\frac{1}{2})^{n}} {1-\frac{1}{2} } = 1+2 \cdot (1-(\frac{1}{2})^{n})\)

\(  =3-(\frac{1}{2})^{n-1}  \le 3 \)
Also ist 3 eine obere Schranke.

Answer 2

Zu (a):

\(1!=1 \geq 1=2^{1-1}\)

\(2! = 2 \geq 2^1=2^{2-1}\).

Für \(k\geq 2\) ist

\(k!=1\cdot 2\cdots k\geq 1\cdot 2\cdots 2\cdot 2\) für \(k\geq 2\),

wobei auf der rechten Seite der Faktor \(2\)  \((k-1)\)-mal auftritt.

Zu (b):

Mit (a) und dem Grenzwert der geometrischen Reihe für \(q=1/2\) sieht man

\(\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}=1+\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}\leq 1+\sum_{k=1}^n(\frac{1}{2})^{k-1}\leq 1+\frac{1}{1-1/2}=1+2=3\)