bestimme den Konvergenzbereich der folgenden Potenzreihen

Question

Aufgabe:

Bestimme den Konvergenzbereich der folgenden Potenzreihen:

i)

ii)

Text erkannt:

$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(3+(-1)^{n}\right)^{3 n}} x^{n}$

Text erkannt:

$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} x^{n^{2}}$

Problem/Ansatz:

Comments

Hallo

du kennst doch die Formeln für den Konvergenzradius?

Was hindert dich die anzuwenden?

lul

Answer 1

Zu i):

$\sqrt[n]{|a_n|}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt[n]{n}}{3}&\text{, falls } n \text{ Quadratzahl ist}\\0&\text{, andernfalls}\end{array}\right\}$ FALSCH !

Tschakabumba hat dies berichtigt zu

$\sqrt[n]{|a_n|}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{3}}&\text{, falls } n \text{ Quadratzahl ist}\\0&\text{, andernfalls}\end{array}\right\}$.

Da $\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{3}}\to \frac{1}{1}$ für $n\to \infty$  und da die Menge der Quadratzahlen

nicht nach oben beschränkt ist, hat die Folge $(\sqrt[n]{|a_n|})$ die beiden

Häufungspunkte $0$ und $\frac{1}{1}$. Der größere der beiden ist dann

der Limes superior, also nach Hadamard: Konvergenzradius $=(1/1)^{-1}=1$.

Comments

Ich fürchte, das stimmt nicht ganz, wie das Beispiel $(x=2\pink{<3})$ zeigt:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+from+n%3D0+to+infty+of+%28n…

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OK! Sehe ich ein ;-)

Dein Wert 1 ist richtig!

Habe es in meiner Antwort berichtigt.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die ursprüngliche Summe$$S_1=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n}{3^n}x^{n^2}=\frac13x+\frac{2}{3^2}x^4+\frac{3}{3^3}x^9+\cdots=\frac{\sqrt 1}{3^{\sqrt1}}x^1+\frac{\sqrt4}{3^{\sqrt4}}x^4+\frac{\sqrt9}{3^{\sqrt9}}x^9+\cdots$$ist für Konvergenzbetrachtungen ungeeignet, da nur Summanden mit quadratische Potenzen von $x$ auftauchen. Wir ergänzen daher die fehlenden Potenzen von $x$ mit Null als entsprechendem Koeffizienten:$$S_1=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k\quad;\quad a_k\coloneqq\left\{\begin{array}{cl}\frac{n}{3^n} & \text{falls }k=n^2\\[1ex]0 &\text{sonst}\end{array}\right.$$

Nach Cauchy-Hadamard ist nun der Konvergenzradius$$r=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}\text{sup}\sqrt[k]{|a_k|}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\frac{n}{3^n}}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n]{\frac{n}{3^n}}}}=\frac{1}{1}=1$$Wegen $\sqrt[n]{n}\to1$ geht die innere Wurzel gegen $\frac13$ und die äußere daher gegen $1$.

Die Folge konvergiert also sicher für $|x|<r=1$.

Für den Rand $(x=1)$ gilt:$$\small S_1=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{3^n}\quad\text{und}\quad \frac{S_1}{3}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{3^{n+1}}=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{n-1}{3^n}=\sum\limits_{n=2}^\infty\left(\frac{n}{3^n}-\frac{1}{3^n}\right)\quad\implies$$$$\small\frac23S_1=S_1-\frac{S_1}{3}=\frac13+\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac13\right)^n-1=\frac{1}{1-\frac13}-1=\frac12\quad\implies\quad S_1=\frac34$$

Weil die Quadratzahlen zwischen ungerade und gerade wechseln, gilt $(-1)^{n^2}=(-1)^n$, und wir können die Summe für $(x=-1)$ wie folgt formulieren$$S_1=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{3^n}(-1)^n$$Wegen $\left(\frac{x}{3^x}\right)'=\frac{1-x\ln(3)}{3^x}$ ist die Ableitung für $x>\frac{1}{\ln(3)}\approx0,91$ negativ, sodass für $n\ge1$ die Folge $(\frac{n}{3^n})$ streng monoton fällt. Eine Nullfolge muss sie sein, weil Konvergenz für $(x=1)$ vorliegt. Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert daher die Summe.

Damit können wir den Konvergenzbereich der Potenzreihe angeben: $\boxed{\pink{x\in[-1;1]}}$.

Ich habe leider keine Zeit mehr für die zweite Teilaufgabe, weil meine Frau und ich gleich zum Tanzen müssen. Du solltest sie aber mit Cauchy-Hadamard unter Bachtung des Limes Superior nun selbst hinkriegen.

Falls nicht, frag einfach nochmal nach. Ich komme aber vermutlich erst morgen wieder zum Antworten.